Klassische Mechanik

dass der elliptische Fixpunkt von Tori umgeben ist.
Wir haben also folgendes Szenario: Durch das Einschalten einer Störung ǫH1 werden alle rationalen
Tori zerstört.Ein Torusdes Frequenzverhältnissesm/swarin der diskreten Abbildung, die wir betrachtet
haben, ein Ring, auf dem alle Punkte die Periode s haben. Nach Zerstörung des Torus gibt es noch
(mindestens) eine stabile Trajektorie der Periode s und eine instabile Trajektorie der Periode s. Um
jeden Punkt der stabilen Trajektorie gibt es einen neuen Satz von Tori. Hier können wir nun das KAM-
Theorem und das Poincaré-Birkhoff-Theoremwieder anwenden: In dem Satz von neuen Tori darf es auch
keine rationalen Tori geben. Statt ihrer gibt es eine stabile und eine instabile periodische Trajektorie. Um
die Punkte der stabilen Trajektorie gibt es wieder Tori, aber die rationalen Tori sind auch hier zerstört
und durch weitere stabile und instabile Trajektorien ersetzt, etc... Wir erhalten also eine selbstähnliche
Struktur, die auf allen Skalen zu finden ist.
Zum Schluss diskutieren wir noch die Rolle der hyperbolischen Fixpunkte. Die Trajektorien, die in
ihrer Nähe beginnen, werden von ihnen abgestoßen. Aber sie können nicht sehr weit wandern, da sie in
radialer Richtung zwischen den benachbarten nicht zerstörten Tori eingesperrt sind und in tangentialer
Richtung den elliptischen Fixpunkten nicht zu nahe kommen können. In der Umgebung der hyperbolischen
Fixpunkte bewegen sich die Trajektorien chaotisch und füllen den ihnen zugänglichen Phasenraum
aus. Um einen genaueren Eindruck von den Trajektorien in der Nähe der hyperbolischen Fixpunkte zu
bekommen, betrachten wir die zu diesem Fixpunkt gehörige stabile und instabile Mannigfaltigkeit. Die
stabile Mannigfaltigkeit ist die Linie all derjenigen Punkte, die unter der Iteration in den Fixpunkt hineinlaufen.
Die instabile Mannigfaltigkeit sind all diejenigen Punkte, die unter einer Rückwärtsiteration in
den Fixpunkt laufen. Man kann diese Mannigfaltigkeiten dadurch konstruieren, dass man mit demjenigen
Teil der Mannigfaltigkeit beginnt, der sich in unmittelbarer Nähe (zum Beispiel innerhalb eines Abstands
ǫ) des Fixpunktes befindet. Unter wiederholter Vorwärtsiteration (bzw. Rückwärtsiteration) aller Punkte
auf diesem Linienstück erhält man dann die instabile (bzw. stabile) Mannigfaltigkeit. Eine Mannigfaltigkeit
kann sich nicht selbst schneiden, denn sonst hätte ein Punkt ja zwei Vorgänger bzw. Nachfolger,
was bei einer deterministischen Dynamik nicht möglich ist. Die instabile Mannigfaltigkeit kann unter
Vorwärtsiteration entweder in der Nähe des Fixpunktes bleiben oder auf einen benachbarten Fixpunkt
zulaufen. Im ersten Fall schneidet sie irgendwann die stabile Mannigfaltigkeit des eigenen Fixpunktes.
Man nennt einen solchen Schnittpunkt einen homoklinen Punkt. Wenn es einen Schnittpunkt gibt, gibt
es aber unendlich viele. Der Grund ist, dass sich der Schnittpunkt unter der Iteration wieder auf einen
Schnittpunkt abbildet. Dies kann nicht derselbe Schnittpunkt sein, da wir sonst eine periodische Bahn
hätten, was im Wiederspruch damit ist, dass jeder Punkt der Mannigfaltigkeiten unter einer Vorwärts-
(bzw. Rückwärts-) Iteration in den hyperbolischen Fixpunkt läuft. Es gibt also eine unendliche Folge
von Schnittpunkten, die sich in beiden Iterationsrichtungen dem Fixpunkt nähern. Abb. 14.3 zeigt den
qualitativen Verlauf der beiden Mannigfaltigkeiten. Wenn die instabile Mannigfaltigkeit eines Fixpunk-
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H 0
Abbildung 14.3: Die stabile und instabile Mannigfaltigkeit eines hyperbolischen Fixpunktes H, wenn sie
sich schneiden. Der Schnittpunkt 0 der beiden Mannigfaltigkeiten und die ersten drei seiner vorwärts
Iterierten sind gekennzeichnet.
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