Klassische Mechanik

Kapitel 6
Hamiltonsches Prinzip
Das von W. R. Hamilton (1805 - 1864) im Alter von 18 Jahren entdeckte Hamiltonsche Prinzip ist gleichwertig
mit den Lagrange-Formalismen. Letztere können sehr effizient aus dem Hamiltonschen Prinzip
abgeleitet werden. Das Hamiltonsche Prinzip ist ein Extremalprinzip. Wir werden also eine Größe definieren,
die durch die klassischen Bahnen minimiert oder maximiert wird oder dort einen Sattelpunkt
hat. Diese Größe ist die sogenannte “Wirkung”. Solche Extremalprinzipien stecken nicht nur hinter den
Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik, sondern treten auch in anderen Gebieten der Physik
auf. Ein Beispiel hierfür ist das Prinzip der Strahlenoptik, dass die Lichtstrahlen den zeitlich kürzesten
Weg nehmen.
6.1 Variationsrechnung (ohne Nebenbedingungen)
Bevor wir das Hamiltonsche Prinzip behandeln, befassen wir uns zunächst allgemein mit der Variationsrechnung.
Bei der Variationsrechnung geht es darum, eine Funktion zu finden, die eine bestimmte Größe
maximiert oder minimiert. Wir formulieren diese Aufgabe folgendermaßen:
Gegeben sei eine Funktion F = F (y(x), y ′ (x), x) mit stetig differenzierbarem y(x) und mit y ′ (x) ≡
dy/dx. Gegeben seien außerdem zwei Punkte P1 und P2 mit den Koordinaten (x1, y1) und (x2, y2). Für
welche Kurve y(x) zwischen P1 und P2 wird das Integral
x2
I ≡ F (y(x), y ′ (x), x) dx (6.1)
extremal?
x1
Zur Lösung dieser Aufgabe betrachten wir alle Kurven in der Umgebung der gesuchten Lösung: Sei
y(x) die gesuchte Kurve und η(x) eine beliebige Funktion mit η(x1) = η(x2) = 0. Dann heißt
die variierte Kurve. ε ist ein kleiner Parameter, und
heißt Variation der Kurve y(x). Es gilt
d.h. Variation und Differentiation sind vertauschbar.
ˆy(x) = y(x) + εη(x) (6.2)
δy(x) ≡ εη(x) (6.3)
d
dx δy(x) = εη′ (x) ≡ δy ′ (x) = δ d
y(x) , (6.4)
dx
50