Klassische Mechanik

• Pendel:
Es ist
und
und damit
T = 1
2 m( ˙x2 + ˙y 2 ) = 1
2 ml2 ˙ϕ 2
V = mgy + konst = −mgl cos ϕ + konst
L = 1
2 ml2 ˙ϕ 2 + mgl cos ϕ + konst .
Die einzige unabhängige Variable, ϕ, ist nicht zyklisch, und folglich ist der Drehimpuls pϕ =
∂L/∂ ˙ϕ = ml 2 ˙ϕ nicht erhalten.
Bemerkungen:
(i) Ist qj keine kartesische Koordinate, so hat pj nicht notwendig die Dimension eines Impulses. Das
Produkt pjqj hat aber immer dieselbe Dimension, nämlich die einer Wirkung, also kg m 2 s −1 .
(ii) Für geschwindigkeitsabhängige Potenziale wird der konjugierte Impuls nicht mit dem üblichen mechanischen
Impuls identisch sein. Für das Teilchen im elektromagnetischen Feld (3.13) gilt
und damit
L = 1
2 m ˙ r 2 − eφ(r) + e A(r) · ˙ r (4.6)
px = ∂L
∂ ˙x = m ˙x + eAx . (4.7)
Der letzte Term ist ein Zusatzterm, der den mechanischen Impuls vom kanonischen Impuls verschieden
macht. Wenn φ und A unabhängig von r sind, so ist r zyklisch und (4.7) eine Erhaltungsgröße.
(iii) Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen Erhaltungsgrößen und Symmetrien. Ist ein physikalisches
System invariant unter einer Verschiebung qj → q ′ j = qj + α, so hängt L nicht explizit
von qj ab, und pj ist eine Erhaltungsgröße. So impliziert zum Beispiel eine Invarianz des Systems
unter Translationen r → r ′ = r + αa die Impulserhaltung. (Siehe den Abschnitt 4.5 zum Noether-
Theorem.)
(iv) Zu L(q, ˙q, t) kann die totale zeitliche Ableitung einer Funktion addiert werden, ohne die Lagrange-
Gleichungen zu ändern:
L ′ (q, ˙q, t) = L(q, ˙q, t) + d
f(q, t) . (4.8)
dt
Wir zeigen dies, indem wir nachrechnen, dass
ist. Es ist nämlich
d ∂ df ∂ df
− = 0
dt ∂ ˙qj dt ∂qj dt
d ∂f
f(q, t) = ˙qj +
dt ∂qj j
∂f
∂t
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