Klassische Mechanik

Es folgt also, dass eine Funktion f eine Erhaltungsgröße ist, wenn sie nicht explizit zeitabhängig ist und
ihre Poisson-Klammer mit H verschwindet.
Als Beispiel betrachten wir wieder das Teilchen im Kreiskegel. Wir wissen, dass pϕ eine Erhaltungsgröße
ist. Im Folgenden berechnen wir die Poissonklammer von pϕ mit H, wobei H durch (11.5) gegeben
ist:
[pϕ,H] = ∂pϕ
∂ϕ
∂H
∂pϕ
+ ∂pϕ
∂r
∂H
∂pr
− ∂pϕ ∂H ∂pϕ ∂H
−
∂pϕ ∂ϕ ∂pr ∂r .
Der erste, zweite und vierte Term verschwinden, weil pϕ nicht von den anderen drei Variablen abhängt,
denn alle Größen werden ja als Funktion von r,ϕ,pr,pϕ betrachtet. Also hängt pϕ nur von pϕ ab. Der
ersteFaktordes dritten Termsist daher1, aberdafürverschwindetderzweite Faktor.Alsoist [pϕ,H] = 0,
wie es sein muss, wenn pϕ eine Erhaltungsgröße ist.
Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen den Poisson-Klammern der klassischen Mechanik und
den Kommutatoren der Quantenmechanik. Viele Beziehungen, die in der klassischen Mechanik unter
Verwendung von Poissonklammern gelten, gelten analog in der Quantemechanik, wenn man die Poisson-
Klammern durch Kommutatoren ersetzt (und noch einen Faktor i dranmultipliziert). Von besonderer
Bedeutung sind hier die sog. fundamentalen Poissonklammern
[qi,pj] = δij , [qi,qj] = [pi,pj] = 0. (11.8)
In der Quantenmechanik folgt aus der Tatsache, dass der Kommutator von qi mit pi nicht verschwindet,
die Unschärferelation.
11.4 Der Phasenraum und die Liouville-Gleichung
Derdurchdie 2nKoordinatenpi und qi aufgespanntePhasenraumist sehrnützlich zurVeranschaulichung
der Dynamik von Systemen. Wir haben in Aufgabe 2d) in Kapitel 1 ein sogenanntes Phasenraumportrait
für das Pendel gezeichnet, das die qualitativ verschiedenen Trajektorien zeigt:
In der Chaostheorie sind solche Phasenraumbilder ein wichtiges Hilfsmittel, um sich die komplexen
Sachverhalte zu veranschaulichen und um auch ohne Rechnungen einen qualitativen Eindruck von dem
Verhalten eines Systems zu vermitteln.
Deshalb diskutieren wir in diesem Unterkapitel einige Eigenschaften des Phasenraums. Die folgenden
Überlegungen gelten in der angegebenen Form, wenn H nicht explizit von der Zeit abhängt. Wenn H
explizit von der Zeit abhängt, kann man sich mit einem Trick einen Phasenraum mit zeitunabhängigen
Phasenraumportraits konstruieren: Man führt eine weitere Koordinate ein, nennen wir sie s(t), die den
einfachen Zeitverlauf ˙s = 1 hat. Man macht den Phasenraum also 2n+1-dimensional.
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