Klassische Mechanik

13.5 Was bedeutet das anschaulich?
Wir haben gesehen, dass Tori mit rationalen Frequenzverhältnissen, also mit geschlossenen, periodischen
Bahnen, durch eine Störung kaputt gemacht werden. Dies können wir uns anschaulich plausibel machen:
Eine geschlossene Bahn kommt immer wieder an genau derselben Stelle im Phasenraum vorbei. Dort
spürt sie die Störung H1 immer auf die gleiche Weise. Also kann H1 bei jedem Umlauf die Bahn ein
Stück weiter in derselben Richtung ablenken. Im Laufe der Zeit addieren sich diese kleinen Änderungen
zu einer großen Änderung der Bahn auf. Bei einer quasiperiodischen Bahn ist dies anders, da die Bahn ja
nicht immer wieder dieselben Punkte im Phasenraum durchläuft. Wenn die quasiperiodische Bahn jedoch
nah an einer periodischen ist, kommt sie mehrfach nahe an demselben Punkt vorbei, bevor sie in andere
Bereiche des Phasenraums geht. Je kürzer die Periode der Bahn (also je kleiner s in (13.8)) ist und je
stärker die Störung (also je größer ǫ) ist, desto eher schafft die Störung es, auch eine quasiperiodische
Bahn stark zu ändern. Dies ist das anschauliche Ergebnis des KAM-Theorems.
Wir können dies auch auf unser Sonnensystem anwenden: Wir betrachten die Störung der Bahn eines
Objekts A (z.B. ein Asteroid) durch einen Planeten B (z.B. Jupiter). Um die Störung zeitunabhängig zu
machen, setzen wir uns in ein Bezugssystem, das mit Jupiter wandert. Aus Sicht dieses Bezugssystem
ist der Planet auf einer quasiperiodischen Bahn mit zwei Frequenzen, die sich aus dem Umlaufzeiten von
A und B ergeben. Wenn die Umlaufzeiten der beiden Himmelskörper um die Sonne in einem rationalen
Verhältnis zueinander stehen, sagen wir 3:1, dann sieht der Asteroid bei jedem dritten Umlauf den
Jupiter wieder an derselben Stelle und wird durch ihn in derselben Richtung abgelenkt. Diese kleinen
Störungen, die immer in derselben Richtung wirken, können sich über Jahrmillionen soweit aufaddieren,
dass der Asteroid aus seiner Bahn geworfen wird. Genau dies ist auch in der Vergangenheit passiert, und
man findet im Asteroidengürtel die sogenannten “Kirkwood”-Lücken bei Umlaufzeiten, die in Resonanz
mit der Umlaufzeit des Jupiter stehen, wie in diesem Bild gezeigt, das auf der Wikipedia-Seite zum
Asteroidengürtel zu finden ist:
Auch die Lücken in den Ringen des Saturn kann man so erklären. Dort wo die Lücken sind, steht
die Umlaufdauer der Teilchen in einem rationalen Verhältnis (mit niedrigem s) zur Umlaufdauer eines
Saturn-Mondes.
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