Klassische Mechanik

Den Zeitverlauf Q(t) erhalten wir aus
˙Q = ∂K(E)
= 1.
∂E
Also ist Q = t+Q0 und
2E
q(t) = sin(ωt+ϕ0)
mω2 (mit ϕ0 = ωQ0), wie es sein muss. Die KoordinateQmacht eine freie Bewegungmit konstantem“Impuls”
P (der mit E identisch ist).
Es mag zunächst verwundern, wie eine geradlinig gleichförmige freie Bewegung in den neuen Koordinaten
Q mit einer periodischen Schwingung in den alten Kooridnaten q verträglich ist. Die periodische
Schwingung des harmonischen Oszillators ist nämlich auf einen begrenzten Bereich von q-Werten beschränkt,
während bei einer freien Bewegung die Koordinate Q alle Werte von minus Unendlich bis
plus Unendlich durchlaufen kann. (Wir können Trajektorien nicht nur vorwärts in der Zeit, sondern auch
rückwärts in der Zeit laufen lassen.) Die Auflösung des Rätsels liegt natürlich darin, dass Werte Q+2π/ω
nicht von Werten Q unterschieden werden können, da sie genau demselben Zustand des Systems entsprechen
(wegen der Sinusfunktion in der Abbildung von Q auf q). Um dieser Tatsache Rechnung zu tragen,
geben wir der Q-Achse sogenannte periodische Randbedingungen: Statt die Achse von minus bis plus
Unendlich laufen zu lassen, nehmen wir den Abschnitt von 0 bis 2π/ω und schließen diesen Abschnitt
ringförmig: Wenn wir “oben” beim Wert 2π/ω hinauslaufen, laufen wir “unten” bei 0 wieder rein (und
umgekehrt).
Die Notation wäre einfacher, wenn wir als Periode der Q-Koordinate nicht 2π/ω, sondern einfach 2π
hätten. Dies können wir dadurch erzielen, dass wir statt der Wahl P = E die Wahl
treffen. Dann bekommen wir
P = E/ω
˙Q = ω, ⇒ Q = Q0 +ωt.
Dasselbe können wir auch in höheren Dimensionen machen. Ein n-dimensionaler harmonischer Oszillator
hat die Hamiltonfunktion
H = 1
n 2
pi +m
2m
2 ω 2 iq2
i .
i=1
Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen der n Dimensionen sind unabhängig voneinander und können
jede für sich gelöst werden. In jedem Freiheitsgrad steckt ein Beitrag Ei zur Gesamtenergie, und es ist
E =
iEi. Wir wählen Pi = Ei/ωi und erhalten dann
2Pi
Qi = ωit+Qi0, und qi(t) =
mω sinQi(t).
Für alle Qi wählen wir periodische Randbedingungen. Wir beschränken also jedes Qi auf den Bereich
[0,2π] und betrachten den Wert 2π als identisch mit 0. Wenn also eine der Koordinaten mit positiver
Geschwindigkeit beim Wert 2π ankommt, wird sie auf 0 gesetzt. Wenn sie mit negativer Geschwindigkeit
bei 0 ankommt, wird sie auf 2π gesetzt. Wenn wir all diese einander entsprechenden Punkte, die auf den
RandflächendesWürfels[0,2π] n liegen,miteinanderverbinden,erhaltenwireinenn-dimensionalenTorus.
Einen zweidimensionalen Torus kann man sich gut vorstellen (als Autoreifenschlauch oder als Donut oder
Bagel), da man ihn in den dreidimensionalen Raum einbetten kann, bei höheren Dimensionen wird es
mit der Anschauung schwieriger...
InmehralseinerDimensionistdieBewegungeinesharmonischenOszillatorsi.A.nichtperiodisch,sondern
quasiperiodisch. Nur wenn die Frequenzen ωi in rationalen Verhältnissen zueinander stehen, können
sich die Trajektorien auf dem Torus exakt schließen. Wenn alle Frequenzen in irrationalen Verhältnissen
zueinander stehen, überdeckt eine Trajektorie im Laufe der Zeit den gesamten Torus immer dichter, d.h.
sie kommt jedem Punkt auf dem Torus im Laufe der Zeit beliebig nahe.
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