Klassische Mechanik

und schreiben dies in der Form
v = V + ω × x . (9.3)
V ist die Geschwindigkeit des Schwerpunkts S.
Als nächstes bestimmen wir den Ausdruck für die kinetische Energie. Im körperfesten Koordinatensystem
ist
d 3 x xϱ(x) = 0 , (9.4)
da der Ursprung im Schwerpunkt liegt.
Die kinetische Energie ist dann
T = 1
d
2
3 =
2 xϱ(x) V + ω × x
1
2 V 2
d 3 xϱ(x) +
M
1
2
V × ω d 3 x xϱ(x) +
0
1
2
d 3 xϱ(x)(ω × x) 2 . (9.5)
Den letzten Summanden schreiben wir unter Verwendung der Beziehung (a × b) 2 = a 2 b 2 − (a · b) 2 als
mit
1
2 ωjJjkωk
Jjk := d 3 xϱ(x) x 2 δjk − xjxk .
Hier haben wir die “Einsteinsche Summenkonvention” verwendet, d.h. es wird über doppelt auftretende
Indizes summiert.
Also haben wir die kinetische Energie in zwei Beiträge zerlegt, die wir unter Verwendung der Matrixschreibweise
für den Trägheitstensor schreiben können als
(9.6)
T = Ttrans + Trot = 1
2 M V 2 + 1
2 ωt Jω . (9.7)
Das Trägheitsmoment bezgl. eines anderen Koordinatensystems, dessen Ursprung nicht im Schwerpunkt
ist, erhalten wir mit dem
Satz von Steiner:
Sei J der Trägheitstensor, wie er im körperfesten System K berechnet wird, das im Schwerpunkt S
zentriert ist, und sei K ′ ein zu K achsenparalleles System, das gegenüber diesem um a verschoben ist.
Dann ist der in K ′ berechnete Trägheitstensor
=
(9.8)
J ′ ij
d 3 x ′ ϱ(x ′ ) x ′2 δij − x ′ ix ′
j
x ′ =x+a
↓
= Jij + M a 2
δij − aiaj
(denn alle in x linearen Terme verschwinden wegen der Schwerpunktbedingung).
74
(9.9)