Klassische Mechanik

(b) Berechnen Sie für allgemeine a und b die Arbeit, die das Feld leistet, wenn ein Teilchen sich
geradlinig von (x, y) = (0, 0) über (0, 1) nach (1, 1) bewegt.
(c) Geben Sie (ohne Rechnung) die Arbeit an, die das Feld leistet, wenn das Teilchen sich geradlinig
von (0, 0) über (1, 0) nach (1, 1) bewegt. Welche Bedingung müssen a und b erfüllen, damit die
Arbeit in beiden Fällen gleich ist?
2. Ein Pendel der Masse m hängt an einer masselosen Stange der Länge l und ist so gelagert, dass es
sich reibungsfrei um 360 Grad bzw 2π in der x − y-Ebene drehen kann. Die Gravitationskraft wirkt
in −y-Richtung. Die Auslenkung aus der stabilen Ruhelage wird durch den Winkel ϕ beschrieben.
(a) Drücken Sie den Drehimpuls L des Pendels um den Aufhängepunkt durch m, l und ˙ϕ aus.
(b) Das Pendel wird anfangs in die instabile Gleichgewichtslage ϕ = π gebracht und aus der
Ruhe losgelassen. Berechnen Sie mit dem Energieerhaltungssatz die Geschwindigkeit v und
den Drehimpuls L beim Durchgang durch den Punkt ϕ = 0.
(c) Nun wird das Pendel bei einer beliebigen Anfangsauslenkung ϕ0 losgelassen (mit Anfangsimpuls
0). Drücken Sie unter Verwendung der Energieerhaltung die Schwingungsperiode T als
Integral aus. Dieses Integral lässt sich näherungsweise berechnen, indem man kleine ϕ0 betrachtet
und den Integranden bis zur vierten Ordnung in ϕ0 bzw ϕ entwickelt. Was ergibt sich
daraus für die Schwingungsperiode T ?
(d) Zeichnen Sie in der ϕ − Lz-Ebene alle qualitativ verschiedenen Trajektorien, die das Pendel
nehmen kann. Man nennt ein solches Bild ein Phasenraumportrait.
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