Klassische Mechanik

Dieses Gesetz folgt direkt aus der Drehimpulserhaltung und gilt für alle konservativen Zentralkräfte,
nicht nur für Kräfte der Form f(r) ∝ 1/r 2 . Wir bezeichnen die überstrichene Fläche mit A, und für die
Änderung von A gilt
dA = 1
r rdϕ
2
⇒ dA
dt
=
1 dϕ (7.8) pϕ
r2 = = konst .
2 dt 2m
(7.15)
Also ist 1
2 r2 ˙ϕ die Flächengeschwindigkeit, d.h. die Fläche, die vom Radiusvektor pro Zeiteinheit
überstrichen wird, und sie ist identisch mit dem Drehimpuls.
7.3 Das effektive Potenzial
Für Potenziale vom Typ V (r) = ar n+1 , d.h. Kräfte F ∝ r n , führen die Bewegungsgleichungen für
n = 1, −2, −3 auf elementare Integrale und für n = 5, 3, 0, −4, −5, −7 auf die sogenannten elliptischen
Funktionen (siehe z.B. Goldstein S.81-83). Berechnungen und Ergebnisse sind i.A. kompliziert. Qualitative
Aussagen über die radiale Bewegung lassen sich aber durch Betrachtung des effektiven Potenzials Veff(r)
machen. Wir schreiben die Gesamtenergie (7.9) als
mit dem sogenannten “effektiven Potenzial”
E = m
2 ˙r2 + Veff(r) (7.16)
Veff(r) ≡ V (r) +
p 2 ϕ
2mr 2
Zentrifugalpotenzial
. (7.17)
Dieses setzt sich zusammen aus dem zur Zentralkraft gehörenden Potenzial und dem “Zentrifugalpotenzial”,
aus dessen Ableitung nach r sich die Zentrifugalkraft ergibt.
Als Beispiel betrachten wir den harmonischen Oszillator, der durch das Potenzial
definiert ist, also ist die Kraft
V (r) = 1
2 fr2
F (r) = −fr
eine lineare Rückstellkraft, wie z.B. bei einem Pendel mit kleiner Auslenkung oder einer Masse an einer
elastischen Feder.
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