Klassische Mechanik

zeigen dies jetzt nochmal auf eine andere Art:
t2
δ Ldt = 0
t1
t2
⇒ δ
t1
L ′ t2
dt = δ c
t2
= δ
= 0
t1
t1
t2
Ldt +
da an den Endpunkten keine Variation durchgeführt wird.
t1
d
f(q, t)dt
dt
d
dt f(q, t)dt = δ (f (q(t2), t2) − f (q(t1), t1))
6.5 Variation mit Nebenbedingungen und Lagrange-Gleichungen
erster Art
Die Lagrange-Gleichungen erster Art (5.6) lassen sich durch die Methode der Lagrange-Multiplikatoren
ableiten. Die Lagrange-Funktion wird jetzt in Abhängigkeit von allen 3N verallgemeinerten Koordinaten
aufgestellt. Die Gleichung (6.15) wird also dahingehend geändert, dass eine Summation über alle 3N
verallgemeinerten Koordinaten auftritt,
t2
t1
3N
j=1
∂L
−
∂qj
d
∂L
δqjdt = 0 . (6.17)
dt ∂qj ˙
Die virtuellen Verrückungen δqi(t) sind Zwangsbedingungen unterworfen und nicht unabhängig. Es gilt
wieder
3N
aijδqj = 0 , i = 1, . . . , k .
Wir addieren nun einen Term
zu (6.17) und erhalten
t2
t1
3N
j=1
j=1
t2
t1
3N
j=1 i=1
∂L
−
∂qj
d ∂L
+
dt ∂qj ˙
k
λiaijδqjdt = 0
k
i=1
λiaij
δqjdt = 0 . (6.18)
Die Lagrangeschen Multiplikatoren λi werden so gewählt, dass die Terme in den k runden Klammern, die
vor den k abhängigen δqj stehen, Null ergeben. Die restlichen 3N − k Klammern verschwinden ebenfalls,
da die zugehörigen δqj unabhängig sind. Es ergeben sich also wieder die Lagrange-Gleichungen erster Art
(5.6).
6.6 Beispiele
Als erstes Beispielsystem betrachten wir einen harmonischen Oszillator. Hier werden wir zeigen, dass die
Wirkung nicht immer minimal ist, sondern dass sie für Zeiten, die größer als die halbe Schwingungsperiode
sind, einen Sattelpunkt hat.
Die Wirkung des harmonischen Oszillators ist
t2
m
S[x] =
2 ˙x2 − D
2 x2
dt .
t1
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