Klassische Mechanik

Weil wirvoneinem stetigemH1 ausgehen,nehmen wirauchan,dassf und g stetigeFunktionen sind. Was
können wir über die Fixpunkte von (Mǫ) s sagen? Um dies zu diskutieren, untersuchen wir den Fall, dass
α(r) stetig mit r anwächst. (Der umgekehrte Fall, dass α(r) stetig mit r abfällt, lässt sich ganz analog
behandeln.) Dazu betrachten wir zunächst alle Punkte mit demselben Winkel θi und verschiedenem
Radius ri. Diejenigen mit einem kleinen ri (so dass α(ri) < m/s ist) werden von der Abbildung M s im
Uhrzeigersinn gedreht (θi+1 < θi), während diejenigen mit einem großen ri (so dass α(ri) > m/s ist) von
der Abbildung M s gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden (θi+1 > θi). Diejenigen mit dem Radius, der
zuα(ri) = m/sgehört,werdenaufsichselbstabgebildet.Wenn dieStörungeingeschaltetwird(unddamit
M s durch (Mǫ) s ersetzt wird), werden für genügend kleine ǫ ebenfalls die Punkte (ri,θi) zu kleineren ri
im Uhrzeigersinn gedreht, während die Punkte zu genügend großen ri gegen den Uhrzeigersinn gedreht
werden.Im GegensatzzurungestörtenAbbildung kannsichhierbeiderRadius ändern.Irgendwozwischen
den kleinen und großen ri muss es einen Punkt (Rǫ(θi),θi) geben, der unter der Abbildung (Mǫ) s seinen
Winkelerhält.DiesesArgumentgiltfürjedenWinkelθi,sodassesfürjedenWinkelθi einensolchenPunkt
gibt, dessen Winkel sich unter (Mǫ) s nicht ändert. Also gibt es eine geschlossene Kurve von Punkten,
die unter (Mǫ) s ihren Winkel nicht ändern (siehe Abb. 14.1). Nun betrachten wir diese Kurve samt der
s
M ε(R
ε)
R ε
Abbildung 14.1: Die Kurve Rǫ derjenigen Punkte, die unter der Abbildung (Mǫ) s nicht ihren Winkel
ändern, und die Kurve (Mǫ) s (Rǫ).
Kurve (Mǫ) s (Rǫ). Diese beiden Kurven können nicht identisch sein, da dies ja bedeuten würde, dass der
rationale Torus nicht zerstört wird. Beide Kurven müssen dieselbe Fläche einschließen. Daraus folgt, dass
sie sich an einer geraden Anzahl von Stellen schneiden. Die Schnittpunkte, die auf beiden Kurven Rǫ und
(Mǫ) s (Rǫ) liegen, sind Fixpunkte von (Mǫ) s . Wir betrachten nun die Umgebung dieser Schnittpunkte:
(Abb.14.2). Man sieht, dass abwechselnd elliptische Fixpunkte (Zentren) und hyperbolische Fixpunkte
Abbildung 14.2: Man erhält abwechselnd elliptische und hyperbolische Fixpunkte.
(Sattelpunkte)auftreten.UmeinenelliptischenFixpunktgibtesgeschlosseneTrajektorien.Diesbedeutet,
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