Klassische Mechanik

Das Potenzial der Gravitationskraft ist
V12 = −G m1m2
. (1.14)
Allgemein hängen die Potenziale Vij zu konservativen zentralen Zweikörperkräften Fij(r) = − ∇Vij(r)
nur vom Abstandsbetrag r = |r| ab. Dies zeigen wir folgendermaßen:
− ∇Vij(r) =
∂
−
∂x Vij(r)ex + ∂
∂y Vij(r)ey + ∂
∂z Vij(r)ez
=
− dVij(r)
∂r
dr ∂x ex + ∂r
∂y ey + ∂r
∂z ez
= fij(r) r
r ≡ Fij(r)
mit
fij(r) = − dVij(r) ∂r ∂ x
, = x2 + y2 + z2 =
dr ∂x ∂x
r etc.
Für Mehrteilchensysteme gilt der Schwerpunktsatz, der Drehimpulssatz, und der Energiesatz, die wir
im Folgenden herleiten.
1.5.1 Schwerpunktsatz
Den Schwerpunktsatz erhalten wir ausgehend von den Bewegungsgleichungen
dpi
dt = F (ex)
i +
j mit j=i
r12
Fij für i = 1, ..., N .
Für innere Kräfte gilt Fij = − Fji (actio = reactio). Es ist Fii = 0. Also ist
Wir definieren den Gesamtimpuls
N
i=1
dpi
dt =
N
i=1
P =
die gesamte äußere Kraft (z.B. die Gewichtskraft)
die Gesamtmasse
und den Ortsvektor des Schwerpunkts
F (ex) =
M =
R = 1
M
F (ex)
i
+
N
pi ,
i=1
N
i=1
N
i=1
N
i,j=1
F (ex)
i ,
mi
N
miri .
i=1
9
Fij
=0
(1.15)