Klassische Mechanik

Kapitel 12
Der Hamilton-Jacobi-Formalismus
Wenn man ausgehend vom Hamilton-Formalismus versucht, Transformationen auf neue Koordinaten
und Impulse so durchzuführen, dass die Bewegung möglichst einfach wird, also dass es möglichst viele
zyklische Variablen gibt, gelangt man zur Hamilton-Jacobi-Gleichung. In diesem Kapitel befassen wir uns
zunächst mit sogenannten kanonischen Transformationen, um dann zu untersuchen, welche Bedingungen
erfüllt sein müssen, damit man auf eine einfache Bewegung kommen kann. Dies wird der letzte Schritt
sein auf dem Weg, ein Kriterium für die Lösbarkeit mechanischer Probleme aufzustellen.
12.1 Kanonische Transformationen
In Kapitel 4 haben wir gezeigt, dass die Lagrange-Gleichungen unter Punkttransformationen forminvariant
sind. Wenn wir also von den Koordinaten q zu den Koordinaten Q = Q(q,t) wechseln und die
entsprechend transformierte Lagrange-Funktion L ′ (Q, ˙
Q,t) = L q(Q,t), ˙q(Q, ˙
Q,t),t ermitteln, gelten
auch in den neuen Koordinaten und mit der neuen Lagrange-Funktion die Lagrange-Gleichungen zweiter
Art. Weil die Hamilton-Gleichungen direkt aus den Lagrange-Gleichungen abgeleitet werden können,
folgt somit auch, dass die Hamilton-Gleichungen unter Punkttransformationen forminvariant sind. Um
die neue Hamiltonfunktion zu erhalten, können wir zunächst L ′ bestimmen, daraus die neuen Impulse P
ermitteln und damit schließlich die Hamiltonfunktion und die Hamiltonschen Gleichungen in den neuen
Koordinaten und Impulsen aufstellen.
Im Folgenden wollen wir Transformationen der Koordinaten und Impulse direkt im Hamilton-Formalismus
durchführen. Wir betrachten Transformationen von den Variablen q,p und der Hamiltonfunktion
H(q,p,t) auf neue Variablen Q,P und eine neue Hamiltonfunktion K(Q,P,t) und verlangen, dass die
Hamiltonschen Bewegungsgleichungen
˙Qi = ∂K
, Pi ˙ = −
∂Pi
∂K
∂Qi
mitdenneuenVariablenundderneuenHamiltonfunktionebenfallsgelten.Diesesogenanntenkanonischen
Transformationen sind allgemeiner als die Punkttransformationen. Aus dem eben Gesagten ist klar, dass
jede Punkttransformation auch eine kanonische Transformation ist, aber längst nicht jede kanonische
Transformation lässt sich als Punkttransformation darstellen.
Da die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen aus dem Hamiltonschen Prinzip (11.3) folgen, ist eine
Transformationgenaudannkanonisch,wenndasHamiltonschePrinzipnachderTransformationweiterhin
erfüllt ist. Wir benutzen diese Bedingung, um ein Rezept zur Erzeugung kanonischer Transformationen
zu erhalten.
Die Bedingung (11.3) lautet in den neuen Koordinaten
t2
δ dt Pi ˙
Qi −K(Q,P,t) = 0,
t1
i
104