Klassische Mechanik

(Bemerkung: Das Produkt θJ ′ ist zu lesen als θ · J ′ bzw.
iθiJ ′ i
. Der Einfachheit halber lassen wir
in dieser Rechnung die Vektorpfeile bzw. Summierungen und Laufindizes weg.) Der erste Term in der
vorigen Gleichung ist derjenige, den man für H1 = 0 hätte, und er macht eine kanonische Transformation,
bei der die alten und neuen Variablen identisch sind.
Wenn man den Ausdruck für W in die zeitunabhängige Hamilton-Jacobi-Gleichung einsetzt, erhält
man
H(J ′
) ≃ H0 J ′ +ǫ ∂W1
+ǫH1 θ,
∂θ
∂W1
≃ H0(J
∂θ
′ )+ǫ ∂H0
∂J ′
∂W1
∂θ +ǫH1(θ,J ′ ).
Die von θ abhängigen Terme verschwinden in der Ordnung ǫ, wenn
∂H0
∂J ′
∂W1
∂θ
≡ ω∂W1
∂θ = −H1(θ,J ′ )
ist. Um dies zu lösen, entwickeln wir W1 und H1 in einer Fourierreihe in θ (denn θ hat ja die Periode 2π):
W1(θ,J ′ ) =
W1,n(J ′ )e in·θ
n=0
H1(θ,J ′ ) =
n=0
H1,n(J ′ )e in·θ
(13.6)
wobei n = (n1,n2,...) ist (mit ganzzahligen ni). Der Summand n = 0 tritt nicht auf, da er in H1
nur einen konstanten und damit überflüssigen Beitrag zur Energie macht, und da er in W1 wegen der
Ableitung nach θ sowieso keine Auswirkung hat. Damit erhalten wir das Ergebnis
W(J ′ ,θ) = θ·J ′ +iǫ
Man sieht, dass der Beitrag proportional zu ǫ nicht immer klein ist, da er für
n=0
ω ·n = 0
divergiert. Für ein System mit zwei Freiheitsgraden bedeutet dies
ω1n1 +ω2n2 = 0
H1,n(J ′ )
n·ω(J ′ ) ein·θ . (13.7)
bzw.
ω1
= −
ω2
n2
.
n1
Für rationale Frequenzverhältnisse gibt es also Resonanzen, die die Störungstheorie kaputt machen, so
dass das System in diesem Fall nicht mit Hilfe der Störungstheorie integriert werden kann.
DieamAnfangdieserRechnunggemachteAnnahme,dasseinekleineÄnderungvonH zueinerkleinen
Änderung der Trajektorien führt, erweist sich also als falsch. Früher hoffte man, dass die gefundenen
Resonanzen durch Terme, die in höherer Ordnung in ǫ kommen (wir haben ja nur bis zur ersten Ordnung
gerechnet), möglicherweise kompensiert werden, oder dass man einen anderen Ansatz finden kann, um
das durch H0+ǫH1 gegebene mechanische Problem zu lösen. Doch heute wissen wir, dass dies i.A. nicht
möglich ist. Das KAM-Theorem und das Poicaré-Birkhoff-Theorem(aus Kapitel 14) werden das deutlich
machen.
13.4 Das KAM-Theorem
Wir haben im vorigen Abschnitt gesehen, dass rationale Tori durch H1 zerstört werden, weil Resonanzen
auftreten. Nun fragen wir, was mit irrationalen Tori passiert. Werden sie nur deformiert, oder werden sie
auch zerstört? Das kommt darauf an, wie “nah” das irrationale Frequenzverhältnis an rationalen Zahlen
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