Klassische Mechanik
Klassische Mechanik
Klassische Mechanik
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
Kapitel 3<br />
Lagrange-Gleichungen zweiter Art<br />
3.1 Herleitung<br />
Der folgende Lagrange-Formalismus zweiter Art ist zu d’Alembert mit holonomen Zwangsbedingungen<br />
äquivalent, jedoch bei der Aufstellung von Bewegungsgleichungen in der Praxis überlegen.<br />
Wir gehen aus von der d’Alembert-Gleichung (2.22),<br />
N<br />
(mi ¨ ri − Fi) · δri = 0, ri = ri(q1, . . . , qn; t), i = 1, . . . , N<br />
i=1<br />
wobei die verallgemeinerten Koordinaten qj, j = 1, . . . , n voneinander abhängen dürfen. Mit der Ersetzung<br />
erhalten wir<br />
N<br />
Fi · δri = <br />
<br />
N<br />
i=1<br />
Wir definieren also die verallgemeinerte Kraft<br />
j<br />
δri = ∂ri<br />
δqj<br />
∂qj<br />
i=1<br />
Qj =<br />
j=1 i=1<br />
j<br />
Fi · ∂ri<br />
∂qj<br />
N<br />
i=1<br />
<br />
δqj ≡ <br />
Qjδqj . (3.1)<br />
j<br />
Fi · ∂ri<br />
. (3.2)<br />
∂qj<br />
Wir machen weiterhin in der d’Alembert-Gleichung die folgende Umformung:<br />
N<br />
mi<br />
i=1<br />
¨ ri · δri =<br />
n<br />
<br />
N<br />
mi<br />
j=1 i=1<br />
¨ ri · ∂ri<br />
<br />
δqj<br />
∂qj<br />
=<br />
n N<br />
<br />
d<br />
mi<br />
dt<br />
j=1 i=1<br />
˙ ri · ∂ri<br />
<br />
− mi<br />
∂qj<br />
˙ ri · d<br />
=<br />
<br />
∂ri<br />
δqj<br />
dt ∂qj<br />
n N<br />
<br />
d<br />
mi<br />
dt<br />
˙ ri · ∂ ˙ <br />
ri<br />
− mi<br />
∂ ˙qj<br />
˙ ri · ∂ ˙ <br />
ri<br />
δqj ,<br />
∂qj<br />
wobei für die letzte Umformung<br />
˙ri = ∂ri<br />
∂qj<br />
j<br />
˙qj + ∂ri<br />
∂t ⇒ ∂ ˙ ri<br />
∂ ˙qj<br />
25<br />
= ∂ri<br />
∂qj<br />
(3.3)
Change language