Klassische Mechanik

1. γ 2 < ω 2 0 (gedämpfte Schwingung)
Mit ω ≡ ω 2 0 − γ2 ergibt sich die allgemeine Lösung
Die reellen Anfangsbedingungen x(0) = x0, ˙x(0) = ˙x0 führen auf
mit
c1 = x0
x(t) = e −γt c1e iωt + c2e −iωt . (10.5)
2 + γx0 + ˙x0
, c2 = c
2iω
∗ 1 = x0
2 − γx0 + ˙x0
2iω
⇒ x(t) = e −γt
x0 cos ωt + γx0
+ ˙x0
sin ωt
ω
A =
x 2 0 +
(10.6)
= Ae −γt sin(ωt + ϕ0) (10.7)
γx0 + ˙x0
ω
2 , tan ϕ0 = x0ω
. (10.8)
γx0 + ˙x0
Bei einer gedämpften, harmonischen Schwingung nimmt demnach die Amplitude exponentiell ab,
und die Eigenfrequenz ω der gedämpften Schwingung ist kleiner als die Eigenfrequenz ω0 der ungedämpften
Schwingung.
2. γ 2 > ω 2 0 (Kriechfall)
Wir definieren κ = γ2 − ω2 0 . Die Lösung sieht genauso aus wie im vorigen Fall, nur dass wir statt
iω jetzt überall ein κ schreiben.
Die allgemeine Lösung ist also
mit
Dies gibt
c1 = x0
x(t) = e −γt c1e κt + c2e −κt
2 + γx0 + ˙x0
, c2 =
2κ
x0
2 − γx0 + ˙x0
.
2κ
(10.9)
x(t) = e −γt
x0 cosh κt + γx0
+ ˙x0
sinh κt . (10.10)
κ
Dies beschreibt keine Schwingung, sondern eine so genannte aperiodische Kriechbewegung. Die
aperiodische Auslenkung geht für große Zeiten gegen Null.
3. γ 2 = ω 2 0 (aperiodischer Grenzfall) Diesen Fall lösen wir am einfachsten, indem wir im Ergebnis
(10.10) den Grenzübergang κ → 0 machen. Wir erhalten also
x(t) = e −γt (x0 + (γx0 + ˙x0)t) . (10.11)
Die asymptotische Annäherung an die Nulllage ist hier schneller als im Fall b). Deshalb arbeiten
Zeigermessinstrumente im aperiodischen Grenzfall.
Die drei Fälle sind in der folgenden Graphik skizziert:
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