Klassische Mechanik

Im anderen Energiebereich, in dem das Pendel überschlägt, ist die neue Koordinate Q einfach eine in
der Zeit geeignet gestreckte und gestauchte Funktion ϕ(t), so dass Q gleichförmig in der Zeit anwächst
(oder abfällt).
Die spezielle Trajektorie, die diese beiden Energiebereiche trennt, lässt sich nicht auf diese Weise
transformieren. Der Grund hierfür ist der hyperbolische Fixpunkt, dem sich die Trajektorie im Limes
t → ∞ immer mehr annähert, und an dem die Länge des Pfeils, der die Geschwindigkeit der Trajektorien
im Phasenraum angibt, Null ist. Bei einer Bewegung auf einem Torus ist die Geschwindigkeit überall von
Null verschieden und die Richtung der Bewegung an jedem Punkt eindeutig.
Wir folgern also: die Transformation eines durch einen endlichen Energiebereich gegebenen Teils des
Phasenraums auf eine gleichförmige Bewegung ist unmöglich, wenn dieser Teil des Phasenraums hyperbolische
Fixpunkte enthält. Elliptische Fixpunkte sind harmloser, da sie als ein auf die Größe Null
geschrumpfter Torus angesehen werden können. Hyperbolische Fixpunkte haben noch eine weitere wichtige
Eigenschaft: Wenn man in ihrer unmittelbaren Umgebung ist und in der instabilen Eigenrichtung
rausläuft, entfernt sich die Trajektorie für kleine Zeiten gemäß einer Exponentialfunktion von dem Fixpunkt.
BeimPendel(undbeiallenanderenzeitunabhängigeneindimensionalenSystemen)istdieExistenzvon
hyperbolischen Fixpunkten harmlos, da sie nur einen einzigen Energiewert betreffen (bzw. für allgemeine
eindimensionale Systeme eine endliche Anzahl von Energiewerten in jedem endlichen Energieintervall).
Für die Energiebereiche unterhalb und oberhalb der Energie des hyperbolischen Fixpunkts (oder, wenn
es mehrere solcher Fixpunkte gibt, für die Energiebereiche zwischen den Fixpunkten) ist eine kanonische
Transformation auf Tori möglich. Das System ist also integrabel, benötigt aber für verschiedene Bereiche
des Phasenraums verschiedene Transformationen.
In höherdimensionalen Systemen ist die Situation komplexer. Auch hier kann keine kanonische Transformation
auf eine freie Bewegung durchgeführt werden, wenn der betrachtete Bereich des Phasenraums
hyperbolische Fixpunkte (also Fixpunkte mit stabilen und instabilen Eigenrichtungen) enthält. Doch es
gibt noch weitere gefährliche Objekte in höherdimensionalen Systemen, nämlich instabile periodische
Trajektorien. Ebenso wie Fixpunkte bilden die Punkte einer periodischen Bahn eine invariante Menge
im Phasenraum. Wenn wir uns nun noch bewusst machen, dass solche invarianten Mengen nach einer
kanonischen Transformation mit der Erzeugenden W(q,α) wieder eine invariante Menge sein müssen,
aber dass ein Torus keine instabilen periodischen Bahnen enthält, folgt, dass Phasenraumbereiche, die
instabile periodische Bahnen enthalten, nicht auf eine freie Bewegung transformiert werden können.
All diese Überlegungen führen uns also zu der Schlussfolgerung, dass die Hamilton-Jacobi-Gleichung
lösbar ist, also dass die Dynamik sich auf eine freie Bewegung transformieren lässt, wenn es n Erhaltungsgrößen
gibt und wenn es innerhalb der Phasenraumbereiche, die gemeinsam transformiert werden sollen,
keine instabilen periodischen Bahnen oder Fixpunkte gibt. Damit sind wir vorbereitet für den Satz von
Liouville über integrable Systeme und für den Nachweis, dass nicht integrable Systeme typischerweise
chaotisch sind.
Aufgaben
1. Führen Sie eine kanonische Transformation mit der Erzeugenden G =
i qiPi durch. Wie interpretieren
Sie dieses Ergebnis?
2. Zeigen Sie, dass die Transformation Qi = pi, Pi = −qi, K(Q,P,t) = H(−P,Q,t) kanonisch
ist. Wie interpretieren Sie dieses Ergebnis?
3. (a) Stellen Sie die Hamilton-Jacobi-Gleichung für das Zentralkraftproblem
auf.
H = 1
p
2m
2 r
112
pϕ
+
r2
+V(r)