Klassische Mechanik

und
ω1 =
D
m , ω2
D + 2D12
=
.
m
Die Spalten der Matrix A sind die beiden Eigenvektoren, die Normierung ist gemäß (10.31) gewählt. Die
Gleichung (10.32) führt auf
.
A t V A = 1
D 0
m 0 D + 2D12
Die Normalkoordinaten ergeben sich gemäß (10.33) mit A t A = 1
m 1:
Q = A −1 q = mA t q ⇒ Q1 =
Ihre Bewegungsgleichungen lauten
Die allgemeine Lösung ergibt sich aus
m
2 (q1
m
+ q2), Q2 =
2 (q1 − q2).
¨Q1 + ω 2 1Q1 = 0, ¨ Q2 + ω 2 2Q2 = 0 .
q = A Q ⇒ q1 = 1
√ 2m (Q1 + Q2), q2 = 1
√ 2m (Q1 − Q2).
Bem.: Die Normalschwingungen (auch Fundamentalschwingungen oder Eigenschwingungen genannt)
haben eine einfache Interpretation. Für die Anfangsbedingungen q1(0) = q2(0), ˙q1(0) = ˙q2(0) wird nur
die erste, gleichphasige Normalschwingung angeregt, bei der die Amplitudenfaktoren gleich sind, d.h.
a11 = a21. Für die zweite Normalschwingung ist a12 = −a22, wobei diese gegenphasige Schwingung durch
die Anfangsbedingungen q1(0) = −q2(0), ˙q1(0) = − ˙q2(0) angeregt wird.
Überlagerung der Normalschwingungen kann zu neuen Phänomenen führen, wie der so genannten
Schwebung. Sie tritt auf, wenn |ω1 − ω2| ≪ ω1 ist. Wir betrachten die Anfangsbedingung
q1(0) = A , ˙q1(0) = q2(0) = ˙q2(0) = 0.
Dies führt auf die Lösung
q1(t) = A
2 (cos ω1t
q2(t) =
ω2 − ω1 ω2 + ω1
+ cos ω2t) = A cos t cos t ,
2
2
A
2 (cos ω1t
ω2 − ω1 ω2 + ω1
− cos ω2t) = A sin t sin t ,
2
2
die im folgenden Bild skizziert ist:
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