Klassische Mechanik

Der Drehimpuls ändert sich, wenn ein Drehmoment
angreift:
d L
dt
Also ist d L
dt = 0, wenn N = 0 ist.
N ≡ r × F (1.3)
d dr dp
= (r × p) = × p + r × = v × p +r ×
dt dt dt
=0
F = N .
3. Gesamtenergie T+V:
Zunächst berechnen wir die an einem Teilchen geleistete Arbeit längs einer Kurve C
W12 =
C
F · dr (1.4)
Das Kurvenintegral geht in ein gewöhnliches Integral über, falls die im Zeitintervall [t1, t2] durchlaufene
Kurve durch r(t) mit
dr(t) = dr(t)
dt = v(t)dt
dt
beschrieben wird (v ≡ |v|):
W12 =
Damit ist
r2
r1
F (r(t), v(t), t) · dr ≡
t2
gleich der Änderung der kinetischen Energie
t1
F (r(t), v(t), t) · v(t)dt = m
W12 = m
2 (v2 2 − v 2 1) ≡ T2 − T1
t1
t2
dv
dt
· v(t)dt = m
2
t2
t1
d
dt (v2 (t))dt .
(1.5)
T ≡ m
2 v2 . (1.6)
Wir betrachten im Folgenden Kraftfelder F (r), die nicht von der Geschwindigkeit abhängen. Ein
solches Kraftfeld ist konservativ, wenn
F (r) · dr = 0 (1.7)
C
ist für jede geschlossene Kurve C. Für konservative Kräfte hängt die Arbeit nicht vom Weg ab, wie
folgende Rechnung zeigt:
F · dr = C1
F · dr + C1−C2
F · dr = F · dr + C2
=0
F · dr
C2
Mit Hilfe des Stokesschen Satzes kann die Bedingung (1.7) geschrieben werden als ∇ × F = 0. Da
die Rotation von Gradienten verschwindet, gilt
Das skalare Feld V (r) heißt Potenzial oder potenzielle Energie.
F (r) = − ∇V (r) . (1.8)
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