Klassische Mechanik

und erhalten damit die Lagrange-Gleichungen zweiter Art
d ∂L
dt ∂ ˙qj
− ∂L
∂qj
= 0 , j = 1, . . . , 3N − k . (3.10)
Die Lagrange-Gleichungen zweiter Art gelten auch für manche geschwindigkeitsabhängige, “generalisierte”
Potenziale
V = V (q1, . . . , q3N−k, ˙q1, . . . , ˙q3N−k; t) , (3.11)
und zwar dann, wenn die Kräfte sich in der Form
Qj = − ∂V
+
∂qj
d ∂V
dt ∂ ˙qj
(3.12)
schreiben lassen. Ein wichtiges Beispiel hierfür ist die elektromagnetische Kraft auf eine bewegte Ladung
e, die Lorentzkraft, die sich aus dem generalisierten Potenzial
V = e(φ − v · A) (3.13)
ableiten lässt, wobei φ(r, t) das skalare Potenzial und A(r, t) das Vektorpotenzial des Elektrodynamik ist.
(siehe Übungen.)
3.2 Gebrauchsanweisung
Mit den Lagrange-Gleichungen zweiter Art lassen sich viele Mechanik-Aufgaben elegant lösen. Die Gebrauchsanweisung
zur Aufstellung dieser Gleichungen ist folgende:
(i) Schreibe L = T − V als Funktion der 3N kartesischen Koordinaten oder als Funktion von 3N
geeigneten generalisierten Koordinaten q1, . . . , q3N und der 3N Geschwindigkeiten ˙q1, . . . , ˙q3N.
(ii) Drücke die 3N Koordinaten durch 3N − k unabhängige generalisierte Koordinaten aus, bei k holonomen
Zwangsbedingungen. (Bemerkung: Mit etwas Übung kann man oft die Lagrange-Funktion
L direkt als Funktion der q1, . . . , q3N−k schreiben. Dann kann man Schritt 1 überspringen.)
(iii) Bestimme L als Funktion der unabhängigen Koordinaten, Geschwindigkeiten und evtl. der Zeit.
(iv) Stelle die Lagrange-Gleichungen zweiter Art auf.
3.3 Beispiele
Als Beispiel nehmen wir wieder das Teilchen im Kreiskegel und das Rollpendel. Die vier Schritte der
Gebrauchsanweisung sind für das Teilchen im Kreiskegel die folgenden:
x
z
ϕ
r
g
y
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