Klassische Mechanik

Hamiltonschen Prinzip (dem Prinzip der stationären Wirkung). Wir gehen im Folgenden durch beide
Herleitungen.
11.2.1 Herleitung der Hamiltonschen Gleichungen aus den Lagrange-Gleichungen
Der Zusammenhang zwischen H und L ist ganz analog zu dem Zusammenhang zwischen verschiedenen
thermodynamischenPotenzialen,nämlichübereineLegendre-Transformation.Legendre-Transformationen
in der Thermodynamik werden verwendet, um von einer Variablen zu einer anderen zu wechseln, die mit
der partiellen Ableitung des Potenzials nach der ersten Variablen identisch ist. Ein Wechsel von den
Variablen ˙qi zu den Variablen pi = ∂L/∂˙qi ist genau von dieser Art. Wir sehen dies explizit, indem wir
das totale Differenzial von H hinschreiben:
dH =
pid˙qi +
˙qidpi − ∂L
dqi −
∂qi
∂L
d˙qi −
∂˙qi
∂L
∂t dt.
i
Mit den Lagrange-Gleichungen zweiter Art und (3.6) folgt
und damit
dH =
˙qidpi −
i
i
i
∂L
=
∂qi
d ∂L
dt∂˙qi
i
= d
dt pi ≡ ˙pi
˙pidqi − ∂L ∂H
dt ≡ dpi +
∂t ∂pi i
∂H
dqi +
∂qi i
∂H
∂t dt.
Die rechte Seite ist das vollständige Differenzial von H(q,p,t). Koeffizientenvergleich ergibt
und
˙qi = ∂H
, ˙pi = −
∂pi
∂H
∂qi
∂H
∂t
i
(11.1)
= −∂L . (11.2)
∂t
Die Gleichungen (11.1) sind die sogenannten Hamiltonschen Bewegungsgleichungen.
11.2.2 Herleitung der Hamiltonschen Gleichungen aus Hamiltonschem Prinzip
Die HamiltonschenBewegungsgleichungenlassensichauchausderBedingungherleiten, dassdie Wirkung
S stationär wird:
t2
t2
δS ≡ δ dt pi˙qi −H(q,p,t) = δ pidqi −Hdt = 0. (11.3)
t1
i
Die Variation von S ist so zu nehmen, dass der Anfangs- und der Endpunkt des Integrals im Phasenraum
vorgegeben sind, aber die Phasenraumtrajektorie zwischen diesen beiden Punkten variiert wird mit einer
Änderung δq(t),δp(t).
keine klassische
Trajektorie
p , q , t
1 1 1
t1
p , q , t
2 2 2
klass. Trajektorie
95
i