Klassische Mechanik

3.4 Lagrange-Formalismus mit Reibung
Reibungskräfte sind wegabhängig und können nicht aus einem Potenzial V abgeleitet werden. Zu ihrer
Beschreibung gehen wir von (3.7) für beliebige eingeprägte generalisierte Kräfte Qj aus (k holonome
Zwangsbedingungen). Diejenigen Kräfte, die sich aus einem Potenzial ableiten lassen, berücksichtigen wir
wieder in der Funktion L, und die Nicht-Potenzial-Kräfte bezeichnen wir mit Rj (diese müssen nicht
notwendig Reibungskräfte sein). Wir erhalten dann eine erweiterte Gleichung (3.10):
d ∂L
dt ∂ ˙qj
Für Reibungskräfte F (R)
i , i = 1, . . . , N, ist nach (3.2)
3.4.1 Einschub: Reibungstypen
− ∂L
− Rj = 0 , j = 1, . . . , 3N − k . (3.14)
∂qj
Rj ≡
N
i=1
F (R)
i
· ∂ri
. (3.15)
∂qj
1. Haftreibung: Die Haftreibungskraft hat einen maximalen Wert, bei dessen Überschreiten die Haftung
endet und Gleiten beginnt.
F (R)
Haft ≤ f0N
mit einer dimensionslose Haftreibungszahl f0 und der Normalkraft N, die z.B. die Zwangskraft
N = | Z| sein kann.
2. Gleitreibung: Der Betrag der Reibungskraft ist nahezu geschwindigkeitsunabhängig
F (R) = −fN v
v
3. Reibung in Fluiden (also Gasen und Flüssigkeiten):
F (R) = −cwA ϱ v
v2
2 v
mit der Querschnittsfläche A des bewegten Objekts und der Dichte ϱ des Fluids. Der Widerstandsbeiwert
cw ist für große Geschwindigkeiten konstant, so dass die Reibungskraft proportional zu
v 2 ist, und diese Reibung tritt in Form von Wirbeln und Turbulenzen auf. Für kleine v ist cw
proportional zu 1/v, so dass die Reibungskraft proportional zu v wird.
3.4.2 Dissipationsfunktion
Oft lassen sich Reibungskräfte auf das i-te Teilchen schreiben als
Mit (3.15) folgt:
F (R)
i
Rj = −
= −
vi
= −hi(vi)
N
i=1
N
i=1
vi
hi(vi) vi
·
vi
∂ri
∂qj
, vi ≡ |vi| i = 1, . . . , N . (3.16)
(3.3)
= −
N
i=1
hi(vi) vi
·
vi
∂vi
∂ ˙qj
hi(vi) ∂vi
. (3.17)
∂ ˙qj
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