Klassische Mechanik

wobei die Variation an den Anfangs- und Endpunkten verschwindet, δQi(t1) = δQi(t2) = δPi(t1) =
δPi(t2) = 0. Der Vergleich mit (11.3) ergibt, dass sich (
ipi˙qi −H) und (
iPi ˙ Qi −K) nur um einen
Faktor und um die totale Zeitableitung einer Funktion F unterscheiden dürfen:
c(
pi˙qi−H) =
Pi ˙ Qi−K+ dF
= − ˙
d(F +i
PiQi−K+
dt PiQi)
≡ −
dt
PiQi−K+ ˙
dG
. (12.1)
dt
i
i
i
(Das ist analog zu den Überlegungen im Abschnitt 6.4.) Wir setzen c = 1, denn ein c = 1 lässt sich
durch eine Änderung der Skala für Q und K immer auf c = 1 abbilden. Die Funktion F bzw. G ist eine
beliebige stetig differenzierbareFunktion der alten und neuen Variablen (wobei von den 4 Variablensätzen
q,p,Q,P nur 2 unabhängig sind.) Wir wählen G als Funktion der alten Koordinaten und der neuen
Impulse, G = G(q,P,t) und erhalten
dG
dt
∂G
= ˙qi +
∂qi
∂G
Pi ˙
∂Pi
i
+ ∂G
∂t .
Wenn wir dies in (12.1) einsetzen und die linke und rechte Seite vergleichen, erhalten wir
pi = ∂G
, Qi =
∂qi
∂G
, K = H +
∂Pi
∂G
. (12.2)
∂t
Wir habe also ein Rezept dafür gefunden, eine kanonische Transformation durchzuführen: Man nehme
eine differenzierbare Funktion G(q,P,t) und stelle die Beziehungen (12.2) auf. Man überprüfe, dass die
Transformation umkehrbar ist, dass also jedem Phasenraumpunkt q,p ein Phasenraumpunkt Q,P im
neuen System zugeordnet ist und umgekehrt.Damit ist der Zusammenhangzwischen den alten und neuen
Variablen und die neue Funktion K bestimmt. Man nennt G die erzeugende Funktion der kanonischen
Transformation.
Es gibt insgesamt 4 verschiedene Möglichkeiten, über eine Erzeugende Funktion einen Zusammenhang
zwischen den alten und neuen Variablen herzustellen, da es 4 verschiedeneKombinationen eines alten und
eines neuen Variablensatzes gibt. Statt einer erzeugenden Funktion G(q,P,t) kann man also auch eine
Funktion F1(q,Q,t) oder eine Funktion F3(Q,p,t) oder eine Funktion F4(p,P,t) wählen und die zu (12.2)
analogenBeziehungenaufstellen. In Lehrbüchern,die alle4MöglichkeitenzurErzeugungvonkanonischen
Transformationen explizit behandeln, wird unsere Erzeugende Funktion F2(q,P,t) genannt. Da wir im
Folgenden aber nur die Variante mit F2 (also G) benötigen, diskutieren wir die anderen Varianten nicht.
Um ein konkretes Beispiel zu betrachten, wählen wir die erzeugende Funktion G =
iqiPi + H∆t
mit einem kleinen Zeitintervall ∆t. Die Beziehungen (12.2) sind dann
pi = ∂G
∂qi
Qi = ∂G
∂Pi
= Pi + ∂H(q,P,t)
∆t ≃ Pi − ˙pi∆t, ⇒ Pi = pi + ˙pi∆t ≃ pi(t+∆t);
∂qi
= qi + ∂H(q,P,t)
∂Pi
K = H + ∂H(q,P,t)
∂t
∆t ≃ qi + ∂H(q,p,t)
∆t ≃ qi(t+∆t);
∂pi
≃ H(q,p,t+∆t).
Die durch G erzeugte kanonische Transformation macht also eine Translation in der Zeit um ∆t. Wenn
∆t infinitesimal klein ist, können alle ≃-Beziehungen in dieser Rechnung durch = ersetzt werden, denn
die vernachlässigten Terme sind von der Ordnung (∆t) 2 , was gegenüber der Ordnung ∆t unendlich viel
kleiner ist, wenn ∆t infinitesimal klein ist.
Zum Schluss notieren wir noch einen wichtigen Satz (ohne Beweis):
Eine umkehrbare Transformation von q,p,H nach Q,P,K ist genau dann kanonisch, wenn die fundamentalen
Poissonklammern
[Qi,Pj] = δij , [Qi,Qj] = [Pi,Pj] = 0
gelten. Dies überprüft man durch Einsetzen von Qi(q,p) und Pi(q,p) und Ausnützen von (11.8).
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