Klassische Mechanik

Wir setzen in Folgenden t1 = 0 und x(t1) = 0. Die Lösung der Bewegungsgleichungen ist x(t) = A sin ωt
mit ω = D/m, und sie ist die Lösung der Bedingung δS = 0. Wir betrachten nun eine variierte Bahn
ˆx(t) = x(t) + ɛη(t)
mit η(0) = η(t2) = 0. Für diese Bahn lautet die Wirkung
t2
S[x + ɛη] = S[x] + ɛ [m ˙x ˙η − Dxη]dt + ɛ2
2
0
t2 2 2
m ˙η − Dη dt .
Wir integrieren jeweils den ersten Term in den eckigen Klammern partiell und verwenden η(0) = η(t2) = 0.
Dies führt auf
t2
S[x + ɛη] = S[x] − ɛ [m¨x + Dx]ηdt −
0
=0
ɛ2
t2
[m¨η + Dη] ηdt ≡ S[x] + ∆S .
2 0
Wir entwickeln die Abweichungen η(t) in eine Fourierreihe,
0
η(t) =
∞
k=1
kπ
bk sin t
t2
und benutzen die Orthogonalitätsrelationen
t2
kπ lπ
sin t sin t dt =
t2 t2
t2
2 δkl ,
woraus
m¨η + Dη =
folgt. Also ist
∆S = − ɛ2
∞
2
kπ
D − m
2
Für
k,l=1
t2
bkbl
∞
2
kπ
kπ
D − m bk sin t
t2
t2
k=1
t2
0
kπ lπ
sin t sin t dt = −
t2 t2
ɛ2 t2
2 2
m π
t2 > π = =
D ω0
T
2
0
∞
2
kπ
D − m
gibt es ein k0 so, dass die eckigen Klammern für k < k0 positiv und für k > k0 negativ sind. Also ist für
das ∆S negativ, also S[x] > S[x + ɛη1]. Für
k0
kπ
η1(t) ≡ bk sin t
t2
η2(t) ≡
k=1
∞
k=k0+1
kπ
bk sin t
t2
dagegen ist ∆S positiv, also S[x] < S[x+ɛη2]. Folglich ist S[x] für t2 > T/2 weder minimal noch maximal.
Als zweite Anwendung betrachten wir eine schwingende Saite. Hier ist unser Ziel, aus dem Prinzip
der stationären Wirkung die Wellengleichung für diese Saite abzuleiten. Wir bezeichnen die Länge der
Saite mit l und ihre Massenbelegung mit ϱ (das hat die Einheit kg/m). Die Saite werde an beiden Enden
55
k=1
t2
b 2 k .