Klassische Mechanik

Im Folgenden betrachten wir nur noch die Relativbewegung. Wir sehen an Gleichung (7.3), dass die
Relativbewegung zweier Massen, die von außen nicht beeinflusst werden, zur Bewegung eines Einteilchensystems
mit reduzierter Masse m äquivalent ist:
m ¨ r = F (r, t) (7.5)
Zentralkräfte zeigen immer auf einen bestimmten Punkt, das sog. Kraftzentrum, den wir o.B.d.A. in den
Ursprung des Koordinatensystems legen.
Ein Beispiel hierfür ist die Gravitationskraft zwischen zwei Massen (1.13)
m ¨ r = −G m1m2
r 2
wobei M ≡ m1 + m2.
Nach (1.21) ist der Drehimpuls konstant, d.h.
r
= −GmM
r r2 r
r
L = r × p = konst.
Dies folgt auch aus dem Noether-Theorem, da eine Rotationsinvarianz vorliegt: weder die kinetische,
noch die potenzielle Energie ändern sich bei einer Rotation des Koordinatensystems. Das Problem besitzt
Kugelsymmetrie, d.h. Drehungen um irgendeine feste Achse haben keinen Einfluss auf die Lösungen.
Da der Ortsvektor senkrecht zum konstanten Drehimpuls steht,
r · L = r · (r × p) = 0 ,
verlaufen Zentralkraftbewegungen in einer Ebene. (Für den Spezialfall L = 0 ist r ˙ r, d.h. die Bewegung
verläuft sogar längs einer Linie.)
Konservative Zentralkräfte lassen sich ausdrücken als
F (r) = f(r) r
(r)
, f(r) = −dV , (7.6)
r dr
wobei das Potenzial V (r) nur von r ≡ |r| abhängt (Vgl. Abschnitt 1.5).
Weil die Bewegung in einer Ebene stattfindet, reicht es, das System durch zwei Freiheitsgrade zu
beschreiben. Wir wählen Polarkoordinaten und verwenden den Lagrange-Formalismus:
L = m
2
Die entsprechenden Bewegungsgleichungen sind
und
˙r 2 + r 2 ˙ϕ 2 − V (r) . (7.7)
m¨r = − dV
dr
+ mr ˙ϕ2
mr(r ¨ϕ + 2 ˙r ˙ϕ) = 0 .
Wegen der zweiten Zeitableitungen sind zur Lösung eigentlich vier Integrationen nötig. Unter Verwendung
der Erhaltungsgrößen können wir dies auf zwei Integrationen reduzieren.
Die Variable ϕ ist zyklisch, also ist
pϕ = ∂L
∂ ˙ϕ = mr2 ˙ϕ = konst (7.8)
eine Erhaltungsgröße. Dies ist der Drehimpuls.
Außerdem sind alle zu Beginn von Abschnitt 4.4 genannten Bedingungen dafür erfüllt, dass die Energie
eine Erhaltungsgröße ist. Insbesondere ist L nicht explizit zeitabhängig. Es gilt also
E = m
2
˙r 2 + r 2 ˙ϕ 2 + V (r) (7.8)
= m
59
2 ˙r2 + p2ϕ 2mr
2 + V (r) = konst . (7.9)