Klassische Mechanik

Wir gehen weiterhin so vor wie beim Lösen der Aufgabe mit dem Teilchen im Kreiskegel (Abschnitt 4.4).
Auflösen von (7.9) nach ˙r ergibt
˙r ≡ dr
2
= ± E − V (r) −
dt m
p2ϕ 2mr2
. (7.10)
Die beiden Vorzeichen gelten jeweils für verschiedene Bahnabschnitte, nämlich für diejenigen, bei denen
r mit der Zeit zunimmt, und für diejenigen, bei denen r mit der Zeit abnimmt. Der Ausdruck unter der
Wurzel in Gleichung (7.10) darf nicht negativ sein. Wenn er Null wird, also wenn
˙r = 0 bzw. V (r) + p2ϕ = E (7.11)
2mr2 ist, hat die Bewegung dort einen Umkehrpunkt. Damit es einen minimalen Abstand gibt, muss −V (r)
im Limes r → 0 negativ werden, oder, wenn es positiv ist, langsamer anwachsen als p2 ϕ/2mr2 . Wenn es
auch einen maximal möglichen Abstand gibt, nennt man die Bewegung “gebunden”.
Es bleiben jetzt noch zwei Integrationen übrig, denn die Gleichungen erster Ordnung (7.8),(7.10) sind
noch zu lösen. Integration von (7.10) mit r0 ≡ r(t = 0) ergibt
dt
dr
= ±
2
m
1
E − V (r) − p2 ϕ
2mr 2
r
⇒ t = ±
r0
2
m
dr ′
E − V (r ′ ) − p2 ϕ
2mr ′2
. (7.12)
Die Radialbewegung r = r(t) ergibt sich aus der Umkehrung von (7.12) für vorgegebene V (r), E, pϕ. Diese
Lösungen gelten jeweils für Abschnitte, bei denen ˙r ein festes Vorzeichen hat. An den Umkehrpunkten
werden die Lösungen zu verschiedenen Vorzeichen aneinander gefügt.
Mit (7.8), d.h. ˙ϕ = dϕ
dt
= pϕ
mr 2 (t) und ϕ0 ≡ ϕ(t = 0) ist
ϕ(t) = pϕ
t
m 0
dt ′
r 2 (t ′ ) + ϕ0 . (7.13)
Damit ist das Problem formal auf Integrale mit vier (Integrations-)konstanten pϕ, E, r0, ϕ0 zurückgeführt.
Wenn man sich nur für die Bahngestalt, und nicht für den zeitlichen Ablauf interessiert, bestimmt
man die geometrische Bahn r(ϕ) bzw. ϕ(r) statt der beiden Größen r(t), ϕ(t). Die Berechnung geht so:
1) dt (7.8)
= mr2
dϕ , 2) dt (7.10)
= ±
1),2)
pϕ
mr
⇒ 2
dϕ = ±
pϕ
2
m
⇒ ϕ(r) = ± pϕ
r
m r0
dr
E − V (r) − p2 ϕ
2mr 2
dr ′
r ′2
2
m E − V (r ′ ) − p2ϕ 2mr ′2
7.2 Das zweite Keplersche Gesetz
2
m
dr
E − V (r) − p2 ϕ
2mr 2
⇔ dϕ = ±pϕ
m
r 2
2
m
dr
E − V (r) − p2 ϕ
2mr 2
+ ϕ0 . (7.14)
Das zweite Keplersche Gesetz besagt, dass der “Fahrstrahl”, also die Verbindungslinie von der Sonne zu
dem betrachteten Planeten, in gleicher Zeit gleiche Flächen überstreicht. Historisch betrachtet hat Kepler
dieses Gesetz vor seinen beiden anderen Gesetzen gefunden, als er die Bahn des Planeten Mars genau
untersuchte und feststellte, dass die Geschwindigkeit des Planeten schneller ist, wenn der Planet näher
an der Sonne ist.
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