Klassische Mechanik

und die Quotienten aus den imaginären und reellen Anteilen gleich sind
tan ϕs = 2γΩ
ω2 . (10.16)
0 − Ω2
Für γ 2 < ω 2 0 (gedämpfte Schwingung), d.h. mit (10.7), und dem Realteil der speziellen Lösung (10.13)
ist die allgemeine Lösung
x(t) = Ae −γt sin
ω2 0 − γ2
t + ϕ0 + As cos (Ωt − ϕs) . (10.17)
Die angeregte Schwingung setzt sich demnach aus einem gedämpften und einem ungedämpften Anteil
zusammen. Der gedämpfte Anteil beschreibt die Einschwingung, auch Transiente genannt. Für große
Zeiten (t ≫ 1/γ) bleibt nur die stationäre Lösung übrig, die hier gerade der speziellen Lösung xs(t)
entspricht. Wir schreiben die Schwingungsamplitude As der stationären Lösung durch Umformen von
(10.15) als
As =
f0/ω2 0
1 − Ω2
ω2 2 + 4
0
γ2
ω2 Ω
0
2
ω2 0
Für γ2 /ω2 0 ≤ 1/2 hat As als Funktion von Ω ein Maximum; für größere γ hat sie kein Maximum, sondern
fällt mit wachsendem Ω monoton ab. Im ersten Fall spricht man von einer Resonanzkurve. Das Maximum
ist bei Amax = f0/ 2γ ω2
0 − γ2 bei der Resonanzfrequenz ΩR = ω2 0 − 2γ2 . Die Phasendifferenz ϕs
zwischen der erregenden Kraft und der erzwungenen Schwingung ist nach (10.16)
ϕs = arctan
ω 2 0
2γΩ
(+π) ,
− Ω2
wobei der letzte Summand π nur für Ω > ω0 auftritt, so dass dann π
2 < ϕ (Ω > ω0) < π ist.
Die folgenden Überlegungen machen den Summanden +π klar: ϕs muss stetig von Ω abhängen. Außerdem
ist zu erwarten, dass die Phasendifferenz zwischen treibender Kraft und Schwingung des Oszillators
umso größer wird, je schneller die treibende Kraft oszilliert. Für die weitere Analyse betrachten wir ein
paar spezielle Fälle: Für Ω ≪ ω0 sind Oszillator und äußere Kraft praktisch in Phase; Der Oszillator folgt
der einwirkenden Kraft mit nur geringer Verzögerung, d. h. ϕs 0. Für Ω = ω0 ist die Phasendifferenz
stets π/2, weil die linke Seite von (10.14) rein imaginär ist. Für Ω ≫ ω0 schwingt der Oszillator im
Gegentakt zur äußeren Kraft, d. h. ϕs π. Dies kann man z.B. daraus folgern, dass für Ω → ∞ die
linke Seite von (10.14) gegen Minus Unendlich läuft. Eine weitere spezielle Situation ist der Fall γ → 0.
Dann ist wird die linke Seite von (10.14) reell und wechselt bei Ω = ω0 das Vorzeichen. Also springt die
Phasendifferenz von ϕ = 0 für Ω < ω0 auf ϕ = π für Ω > ω0. Die folgende Graphik zeigt den Verlauf
für verschiedene Werte von γ, wobei die Kurven mit einer größeren Steigung bei ω0 größere Werte von γ
haben.
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