Klassische Mechanik

Für die letzte Gleichung wurde benutzt:
vi · ∂vi
∂ ˙qj
= 1 ∂(vi · vi)
2 ∂ ˙qj
= 1 ∂v
2
2 i
∂ ˙qj
Die sogenannte Dissipationsfunktion P erfüllt die Beziehung
d.h. mit (3.17):
∂P
∂ ˙qj
≡
N
i=1
hi(vi) ∂vi
∂ ˙qj
Nach (3.14) lautet die “Lagrange-Gleichung mit Reibung” dann
d ∂L
dt ∂ ˙qj
∂vi
= vi .
∂ ˙qj
j = 1, . . . , 3N − k , (3.18)
Rj = − ∂P
. (3.19)
∂ ˙qj
− ∂L
+
∂qj
∂P
∂ ˙qj
Die Dissipationsfunktion P kann gemäß (3.18) geschrieben werden als
d.h. mit (3.21) gilt
und daher (3.18).
∂P
∂vi
P =
N
i=1
= hi(vi) ⇒ ∂
P =
∂ ˙qj
vi
0
i=1
= 0 . (3.20)
hi(ˆvi)dˆvi , (3.21)
N ∂P ∂vi
∂vi ∂ ˙qj
Wir betrachten ein Beispiel:
Eine Masse m gleite mit Gleitreibung auf der (x, y)-Ebene.
Es ist also F (R) = −fmg v
v
und damit h(v) = fmg. Also ist
P =
v
0
=
N
i=1
h(ˆv)dˆv = fmgv = fmg ˙x 2 + ˙y 2
Es ist
L = T − V = T = m
2 ( ˙x2 + ˙y 2 ) .
Wir überprüfen noch die Gültigkeit von (3.20):
d ∂L ∂L ∂P
− +
dt ∂ ˙x ∂x ∂ ˙x
d ∂L ∂L ∂P
− +
dt ∂ ˙y ∂y ∂ ˙y
= m¨x + fmg
= m¨y + fmg
30
˙x
˙x 2 + ˙y 2
˙y
˙x 2 + ˙y 2
hi(vi) ∂vi
∂ ˙qj
= 0
= 0