Klassische Mechanik

und in den kontinuierlichen Parametern α stetig differenzierbar sein müssen. Ferner soll für α = 0 die
identische Transformation vorliegen,
Wir schreiben verkürzt
qi ′ (q1, . . . , q3N−k, t, α = 0) = qi , i = 1, . . . , 3N − k .
qi ′ = qi ′ (q, t, α) und qi = qi(q ′ , t, α) .
Wichtige Beispiele für solche Koordinatentransformationen sind Translationen
und Rotationen um die z-Achse
⎛
⎝ x
⎞ ⎛ ⎞
y ⎠ → ⎠ =
z
⎝ x′
y ′
z ′
⎛
⎝
r → r ′ = r + αa
cos α − sin α 0
sin α cos α 0
0 0 1
⎞ ⎛
⎠ · ⎝ x
⎞ ⎛
y ⎠ = ⎝
z
x cos α − y sin α
x sin α + y cos α
z
Die neue Lagrange-Funktion L ′ erhalten wir, indem wir in der alten Lagrange-Funktion die Ersetzung
(4.17) machen:
L ′ (q ′ , ˙q ′
, t, α) = L q(q ′ , t, α), d
dt q(q′
, t, α), t . (4.18)
Wir berechnen im Folgenden, wie L ′ sich mit α ändert und betrachten dann den Fall, dass L nicht
von α abhängt. Dies wird uns einen Erhaltungssatz liefern.
Es ist
∂L ′ (q ′ , ˙q ′ , t, α)
∂α
=
=
3N−k
i=1
3N−k
i=1
= d
dt
∂L
i=1
∂qi(q ′ , t, α)
∂α
∂qi
d ∂L ∂qi(q
dt ∂ ˙qi
′ , t, α)
∂α
3N−k ∂L ∂qi(q
∂ ˙qi
′
, t, α)
.
∂α
+ ∂L ∂
∂ ˙qi
d
dtqi(q ′ , t, α)
∂α
+ ∂L
d
∂ ˙qi dt
∂qi(q ′
, t, α)
∂α
Diese Gleichung gilt für alle α. Wenn wir α = 0 setzen, gehen die qi ′ in die qi über. Es ist
∂L ′ (q ′ , ˙q ′ , t, α)
∂α
α=0
= d
3N−k ∂L
dt ∂ ˙qi i=1
⎞
⎠ .
∂qi(q ′
, t, α)
∂α
.
α=0
(4.19)
Bemerkung: Die partielle Ableitung bzgl. α ist bei festgehaltenen übrigen Argumenten der Funktion
L ′ , also bei festen q ′ und ˙q ′ und t zu nehmen. Den Unterschied zwischen einer partiellen und einer
totalen Ableitung wird deutlich, wenn man Gleichung (4.18) nach α ableitet: Während die Funktion L ′
die Argumente q ′ , ˙q ′ , t, α hat, hat die Funktion L die Argumente q, ˙q, t. Weil q und ˙q widerum von α
abhängen, können wir also schreiben
∂L ′ (q ′ , ˙q ′ , t, α)
∂α
= dL(q, ˙q, t)
dα
wobei die Abhängigkeit von α auf der rechten Seite in den q und ˙q versteckt ist. Die Auswertung der
rechten Seite erfolgt wie in der oben an (4.18) anschließenden Rechnung.
Wir betrachten nun den Fall, dass die Koordinatentransformation (4.16) die Lagrange-Funktion invariant
lässt:
L(q, ˙q, t) (4.18)
= L ′ (q ′ , ˙q ′ , t, α) Invarianz
= L(q ′ , ˙q ′ , t) . (4.20)
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