Klassische Mechanik

5.2 Herleitung der Lagrange-Gleichungen erster Art
Wir beginnen mit dem d’Alembert-Prinzip und (3.6), d.h.
3N
j=1
d ∂T
dt ∂ ˙qj
− ∂T
− Qj δqj = 0 ,
∂qj
bzw., falls die verallgemeinerten Kräfte Qj aus einem Potenzial V ableitbar sind,
3N
j=1
d ∂L
dt ∂ ˙qj
− ∂L
δqj = 0 . (5.3)
∂qj
Hierbei ist L eine Funktion von allen 3N Koordinaten und 3N Geschwindigkeiten.
Ein solches “Variationsproblem” (nämlich die Bestimmung der qj(t) mit Nebenbedingungen – den
Zwangsbedingungen) löst man mit Hilfe von sogenannten Lagrange-Multiplikatoren. Wir schreiben für
die Zwangsbedingungen wie in (2.8)
3N
j=1
Da für virtuelle Verrückungen dt = 0 ist, gilt
Also gilt auch
aijdqj + bidt = 0 , i = 1, . . . , k .
3N
j=1
aijδqj = 0 , i = 1, . . . , k .
k
3N
λi
i=1 j=1
aijδqj = 0 (5.4)
mit zunächst beliebigen Lagrange-Multiplikatoren λi, die i.A. eine Funktion der qj und ˙qj und von t sind.
Wenn man die Gleichungen gelöst und folglich q(t) bestimmt hat, hat man auch λi als Funktion der Zeit.
Subtraktion von (5.3) und (5.4) gibt
3N
j=1
d ∂L
dt ∂ ˙qj
− ∂L
−
∂qj
k
i=1
λiaij
δqj = 0 . (5.5)
Nun kommt der entscheidende gedankliche Schritt: Wir können die λi so wählen, dass jede der Klammern
in (5.5) verschwindet. Wir können nämlich die k Funktionen λi so wählen, dass k Klammern (sagen wir:
Nummer 3N − k + 1 bis 3N) in (5.5) verschwinden. Dann haben wir noch eine verbleibende Summe
über 3N − k Terme, in denen aber nun die δqj unabhängig voneinander gewählt werden können, weil
wir ja 3N − k unabhängige Variablen haben. Also müssen auch die verbleibenden 3N − k Klammern
verschwinden.
Wir erhalten somit die Lagrange-Gleichungen erster Art:
d ∂L
dt ∂ ˙qj
= ∂L
+
∂qj
k
λiaij , j = 1, . . . , 3N . (5.6)
i=1
Dies sind 3N Gleichungen für 3N +k Unbekannte (die qj und die λi), die zusammen mit den k Gleichungen
für die Zwangsbedingungen alle Unbekannten festlegen.
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