Klassische Mechanik

d.h. die Matrix A diagonalisiert simultan V und T .
Die Normalkoordinaten Qr sind definiert über die Beziehungen
q ≡
n
arQr ≡ A Q. (10.33)
r=1
Einsetzen von (10.33) in die Lagrange-Funktion (10.23) ergibt:
L = 1
2 ( ˙ q t T ˙ q − q t V q)
= 1
2 ((A ˙ Q) t ˙
T (A Q) − (AQ) t
V (AQ))
= 1
2 ( ˙ Q t t ˙
A T A Q − Q t t
A V AQ)
= 1
2 ( ˙ Q t Q ˙
− Q t 2
Ω Q) .
≡ 1
2
n
( ˙ Q 2 r − ω 2 rQ 2 r). (10.34)
r=1
Gl. (10.34) zeigt, dass die Normalkoordinaten n entkoppelte harmonische Oszillatoren mit Eigenfrequenzen
ωr beschreiben, mit den Lagrange-Gleichungen
¨Qr + ω 2 rQr = 0, r = 1, ..., n. (10.35)
Wir haben also ein Problem mit n Freiheitsgraden auf n Probleme mit je einem Freiheitsgrad reduziert.
10.3 Beispiel 1: Zwei gekoppelte, ungedämpfte Oszillatoren
Wir betrachten zwei identische harmonische Oszillatoren, die durch eine Feder mit der Federkonstanten
D12 verbunden sind und die sich nur auf einer horizontalen Geraden bewegen können. Die kinetische und
potenzielle Energie und die Lagrangfunktion sind also
mit
T = m
2 ( ˙q2 1 + ˙q 2 2), V = D
2 q2 1 + D
2 q2 2 + D12
2 (q2 − q1) 2
⇒ L = 1
2
2
(Tij ˙qi ˙qj − Vijqiqj) ≡ 1
2 ( ˙ q t T ˙ q − q t V q)
i,j=1
1 0
T = m
0 1
D + D12
, V =
−D12
−D12
D + D12
Die Eigenfrequenzen ω1 und ω2 und die Eigenvektoren a1 und a2 erhalten wir durch Lösen der Gleichung
(10.35). Es ergibt sich
A = 1
1
√
2m 1
1
−1
89
.