Klassische Mechanik

ist, wie das KAM-Theorem zeigt, das wir im Folgenden in seiner einfachsten Version behandeln. KAM
steht hierbei für die drei Namen Kolmogorov (1954), Arnold (1963) und Moser (1967). Diese Personen
stellten Bedingungen dafür auf, dass die störungstheoretische Rechnung konvergierende Summen ergibt.
Das betrifft sowohl die Summation der Fourierkomponenten, als auch die Summation der Terme jeder
Ordnung in ǫ. Bei der Begründung des Theorems befassen wir uns hier nur mit der ersten Sorte von
Summe. Wir geben das KAM-Theorem hier für 2 Freiheitsgrade an. Die allgemeine Formulierung kann
in der Originalliteratur gefunden werden.
Das KAM-Theorem besagt, dass wenn die Jacobi-Determinante der Frequenzen nicht Null ist, also
wenn (det∂ωi/∂Jj) = 0 ist, diejenigen Tori, deren Frequenzverhältnis für alle rationalen Zahlen m/s die
Ungleichung
ω1
ω2
− m
s
> k(ǫ)
s 2.5
(13.8)
erfüllt, stabil sind unter der Störung ǫH1, solange ǫ genügend klein ist. k(ǫ) ist hierbei eine stetige
Funktion, die für ǫ → 0 verschwindet.
Wir zeigen zunächst, dass diejenigen Frequenzverhältnisse, die die Bedingung (13.8) erfüllen, ein
nichtverschwindenes Maß haben. Die Gesamtlänge aller Intervalle in 0 ≤ ω1/ω2 ≤ 1, für die (13.8) nicht
gilt, erfüllt die Ungleichung
L < 2
∞
s=1
k(ǫ)
·s = 2k(ǫ)
s2.5 ∞
s −1.5 = konst.·k(ǫ) → 0
s=1
für ǫ → 0. (Der Faktor s kommt daher, dass es s verschiedene Werte von m gibt, und der Faktor 2 kommt
daher, dass der Ausdruck in den Betragsstrichen in (13.8) positiv oder negativ sein kann.)
Dies bedeutet, dass diejenigen Frequenzverhältnisse, für die die ursprüngliche Bewegung auf dem
Torus durch die Störung nur leicht verändert wird, ein Maß 1−konst.·k(ǫ) haben. Für genügend große
ǫ werden schließlich alle Tori zerstört. Der letzte Torus, der zerstört wird, entspricht der “irrationalsten
Zahl” ( √ 5−1)/2.
Um die Konvergenz des Ausdrucks für W1 zu begründen, betrachten wir die Summe in (13.7) für
einen irrationalen Torus mit den Frequenzen ω1 > 0 und ω2 > 0, die die Bedingung (13.8) erfüllen, und
zeigen, dass sie konvergiert. Es ist
ω1
n2
ω1
n2
|ω1n1 +ω2n2| ≥ |n1|ω2
−
≥ ω2
−
k(ǫ)
≥ ω2
und folglich
H1,n
n·ω
n=0
ein·θ
=
=
ω2
n1
n mit ω·n>0
n mit ω·n>0
≤
≤
n mit ω·n>0
1
ω2k(ǫ)
ω2
n1
H1,ne in·θ −H1,−ne −in·θ
n·ω
2ℑH1,nein·θ
n·ω
2ℑH1,nein·θ
n·ω
n mit ω·n>0
|n1| 2.5
2ℑH1,ne in·θ |n1| 2.5 . (13.9)
Das Symbol ℑ steht für den Imaginärteil. Der letzte Term in (13.7) ist klein, wenn das Ergebnis (13.9)
multipliziert mit ǫ klein ist. Dies ist der Fall, wenn die Summe konvergiertund k(ǫ) entsprechend gewählt
wird. Die Summe konvergiert, wenn die Fourierkomponenten von H1 für große n1 und n2 mindestens
wie 1/(n 3.5
1 n2) abfallen. Wenn sie stärker abfallen, kann statt des Exponenten 2.5 ein größerer Exponent
gewählt werden, und wir können für noch mehr Tori zeigen, dass sie nicht zerstört werden. Allgemein
versucht man jeweils, die Abschätzungen möglichst gut auf das konkrete System zuzuschneiden.
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