Klassische Mechanik

2. Die Lagrange-Funktion ist unter Drehungen invariant, denn sie hängt nur vom Betrag der Geschwindigkeits-
und Abstandsvektoren ab, nicht von ihrer Richtung. Wir zeigen im Folgenden, dass aus
Invarianz unter Drehungen um die z-Achse die Erhaltung von Lz folgt. Analog lässt sich die Erhaltung
von Lx und Ly zeigen, so dass auch der Gesamtdrehimpuls
zi
L =
N
ri × pi
i=1
erhalten ist. Eine Rotation um die z-Achse entspricht der Transformation (vgl. die Gleichung vor
(4.18))
⎛
⎝ xi
⎞ ⎛
⎞ ⎛
′
cos α sin α 0 xi
yi ⎠ = ⎝ − sin α cos α 0 ⎠ · ⎝ yi
0 0 1
′
zi ′
⎞ ⎛
⎠ = ⎝ xi ′ cos α + yi ′ sin α
−xi ′ sin α + yi ′ ⎞
cos α ⎠ .
Also ist
und
Mit
∂xi(r ′ , α)
∂α
∂yi(r ′ , α)
∂α
L ′ =
N
i=1
ergibt sich die gesuchte Erhaltungsgröße zu
N
∂L
i=1
∂ ˙xi
= −xi ′ sin α + yi ′ cos α = yi
= −xi ′ cos α − yi ′ sin α = −xi .
mi
2 ˙ r ′ 2
i −
yi + ∂L
(−yi) =
∂ ˙yi
N
i