Klassische Mechanik

11.4.1 Trajektorien im Phasenraum
Da die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen von erster Ordnung in der Zeitableitung sind, ist eine Trajektorie
(q(t),p(t)) im Phasenraum durch einen zu einer Zeit t0 festgelegten Punkt (q(0),p(0)) eindeutig
bestimmt. Dies gilt nicht nur vorwärts in der Zeit, sondern auch rückwärts in der Zeit. Wir können jedem
Punkt im Phasenraum einen Pfeil zuordnen, dessen Richtung die Richtung und Länge die “Geschwindigkeit”
(˙q1,..., ˙qn, ˙p1,..., ˙pn) in diesem Punkt angeben. Die Geschwindigkeit lässt sich mit Hilfe der
Hamiltonschen Gleichungen berechnen.
Aus diesen Überlegungen folgt die in der Praxis sehr hilfreiche Regel, dass sich Trajektorien im
Phasenraum nicht schneiden dürfen. Denn wenn sie sich schneiden würden, gäbe es Punkte, in denen die
Richtung des Geschwindigkeitsvektors nicht eindeutig wäre. Die Zeitentwicklung Hamiltonscher Systeme
ist aber deterministisch. Die einzig möglichen Punkte, in denen mehrere Trajektorien zusammenkommen
können, sind instabile Gleichgewichtspunkte, in denen die Geschwindigkeit Null ist, man betrachte hierzu
das Phasenraumportrait des Pendels (siehe vorige Seite). Der instabile Gleichgewichtspunkt bei (φ =
(2n + 1)π,Lz = 0) entspricht dem senkrecht nach oben stehenden Pendel. Man nennt einen solchen
Punkt, in den sowohl Trajektorien hinein- als auch hinauslaufen und in dessen Umgebung deshalb die
Trajektorien Hyperbelform haben, einen hyperbolischen Fixpunkt. Den stabilen Gleichgewichtspunkt bei
(φ = 2nπ,Lz = 0) nennt man übrigens einen elliptischen Fixpunkt.
11.4.2 Die Liouville-Gleichung
Es ist oft zweckmäßig, nicht nur eine, sondern viele Trajektorien im Phasenraum gleichzeitig zu betrachten.
Dies macht man z.B. bei Teilchenbeschleunigern und in der statistischen Mechanik. Das Vorgehen
in der statistischen Mechanik wird im Folgenden näher erläutert:
In der statistischen Mechanik betrachtet man z.B. ein “Gas” aus N Teilchen, das in eine Kammer
eingesperrt ist, mit den n = 3N Ortskoordinaten qi und den entsprechenden Impulskoordinaten pi.
Die Dynamik des gesamten Teilchengases lässt sich also durch die Trajektorie eines Punktes im 6Ndimensionalen
Phasenraum darstellen. Wir schreiben
Die Bewegungsgleichungen (11.1) lassen sich also zusammenfassen als
x = (q1,...,qn,p1,...,pn). (11.9)
˙x = f(x) (11.10)
mit der durch die rechten Seiten der beiden Gleichungen (11.1) gegebenen Funktion f.
Um die Brücke zwischen der klassischen Mechanik und der statistischen Mechanik zu bauen, betrachtet
man nun nicht ein einzelnes System, sondern ein ganzes Ensemble von solchen Systemen. Da man
die Anfangsbedingung sowieso nicht mit beliebiger Genauigkeit angeben kann, betrachtet man das Ensemble
von Systemen, deren Anfangszustand im Rahmen einer gewählten Genauigkeit übereinstimmt.
Im Phasenraum füllen all diese Anfangszustände des Ensembles ein kleines endliches Volumen aus. Wir
wählen das Ensemble so, dass die Dichte der Systeme in diesem kleinen Volumen einen konstanten Wert
̺0 hat und außerhalb verschwindet. Nun betrachtet man die zeitliche Entwicklung all dieser Systeme
gleichzeitig im Phasenraum. Jeder Punkt des anfänglich gewählten Volumenelements bewegt sich gemäß
Gleichung (11.10). Das Volumenelement bewegt sich also und deformiert sich dabei. Wir zeigen zunächst,
dass sich das Gesamtvolumen dabei nicht ändert. Hierzu machen wir den Ansatz V = l1l2...l2n (mit
infinitesimalen li), wir gehen also davon aus, dass das Volumenelement ein 2n-dimensionaler “Quader”
ist, dessen Kanten sich in jeder der 2n Dimensionen von x (i)
a bis x (i)
e erstrecken. Durch Taylorentwicklung
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