Klassische Mechanik

u. Im Laborsystem geben wir allen Ortsvektoren und Geschwindigkeiten den Index L, und im Schwerpunktsystem
geben wir ihnen keinen Index.
Da das Teilchen 2 vor dem Stoß ruht, ist die Geschwindigkeit des Schwerpunkts im Laborsystem
gegeben durch
vSL =
m1
v1L .
m1 + m2
Die Geschwindigkeit nach der Streuung erfüllt die Gleichung
u1L sin θL = u1 sin θ ,
da die Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Schwerpunktsbewegung in beiden Bezugssystemen
gleich sind. Außerdem gilt
u1L cos θL = u1 cos θ + vSL .
Division der ersten durch die zweite Gleichung führt auf
sin θ
tan θL =
cos θ + m1 . (8.3)
vL1
m1+m2 u1
Wegen der Energieerhaltung ist im Schwerpunktsystem die Geschwindigkeit u1 des Teilchens 1 nach der
Streuung gleich der Geschwindigkeit v1L − vSL des Teilchens 1 vor der Streuung:
Einsetzen in (8.3) ergibt
u1 = v1L − vSL = v1L −
tan θL =
m1
m1 + m2
sin θ
cos θ + m1
m2
v1L =
m2
v1L .
m1 + m2
. (8.4)
Der Streuwinkel im Laborsystem ist also stets kleiner als im Schwerpunktsystem.
Quadrieren der Gleichung (8.4) führt auf eine quadratische Gleichung für cos θ. Von den beiden
Lösungen dieser Gleichung ist diejenige zu nehmen, für die im Fall m1 ≪ m2 der Streuwinkel im Laborund
Schwerpunktsystem fast gleich ist. Man erhält also
cos θ = − m1
m2
2
1 − cos θL + cos θL
1 −
m1
m2
2
(1 − cos 2 θL) . (8.5)
Wir haben also unter Verwendung des Energie- und des Impulssatzes die Beziehung zwischen dem Streuwinkel
θ im Schwerpunktsystem und dem Streuwinkel θL im Laborsystem gefunden.
Der Streuwinkel ψL des Targetteilchens kann durch eine ähnliche Rechnung ermittelt werden. Das
Ergebnis ist
ψL =
π − θ
2
. (8.6)
Es ist noch interessant, den Fall m1 = m2 zu betrachten. Gleichung (8.4) liefert
Daraus folgt
tan θL =
sin θ θ
= tan . (8.7)
1 + cos θ 2
θL = θ
2 .
Da θ nicht größer als 180 o sein kann, ist der Streuwinkel θL < 90 o . Wenn Projektil und Targetteilchen
gleich schwer sind, erfolgt die Streuung im Laborsystem also in Vorwärtsrichtung. Die Gleichungen (8.6)
und (8.7) ergeben zusammen
ψL + θL = π
2 .
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