Klassische Mechanik

Kapitel 4
Symmetrien und Erhaltungssätze;
Noether-Theorem
4.1 Forminvarianz der Lagrange-Gleichungen
Die Lagrange-Gleichungen haben den großen Vorteil, dass sie für holonome Zwangsbedingungen wie geschaffen
sind, und dass ihre Form immer dieselbe ist, egal welche Koordinaten und Bezugssysteme man
verwendet. Dies ist bei den Newtonschen Gleichungen nicht so. Für die Bewegung in einem Zentralpotenzial
lauten die Gleichungen in Polarkoordinaten nämlich nicht m¨r = −∂V/∂r und mr 2 ¨ϕ = −∂V/∂ϕ = 0,
wie man bei Forminvarianz erwarten würde, sondern
m(¨r − r ˙ϕ 2 ) = −∂V/∂r und mr(r ¨ϕ + 2 ˙r ˙ϕ) = 0 .
(Herleitung geht am schnellsten über Lagrange, mit T = m( ˙r 2 + r 2 ˙ϕ 2 )/2 und V = V (r).) Auch beim
d’Alembert-Prinzip müssen Beschleunigungen und Verrückungen umständlich auf die generalisierten Variablen
umgerechnet werden.
Wir zeigen jetzt explizit, dass die Lagrange-Gleichungen unter Punkttransformationen invariant sind,
also dass sie in allen Koordinaten- und Bezugssystemen die gleiche Form haben: Wir betrachten die
“alten” Koordinaten {qi}, für die die Lagrange-Gleichungen gelten sollen, und wir wechseln zu neuen
Koordinaten {Qj}, die mit den alten Koordinaten über die Beziehungen qi = qi(Q, t) zusammenhängen.
Wir verwenden im folgenden öfter die vereinfachte Schreibweise q bzw. Q für {qi} bzw. {Qj}. Es gilt
˙qi =
3N−k
j=1
∂qi
∂Qj
Daraus folgt die für das Folgende wichtige Beziehung
∂ ˙qi
∂ ˙ Qj
˙Qj + ∂qi
∂t .
= ∂qi
. (4.1)
∂Qj
Die Lagrange-Funktion in den neuen Koordinaten nennen wir L ′ (Q, ˙ Q, t), und sie hängt mit der “alten”
Lagrange-Funktion zusammen über
L ′ (Q, ˙
Q, t) = L q(Q, t), ˙q(Q, ˙
Q, t), t . (4.2)
Wir müssen jetzt noch zeigen, dass auch mit der neuen Lagrange-Funktion und den neuen Koordinaten
die Lagrange-Gleichungen gelten. Dazu berechnen wir
∂L ′ 3N−k
∂L ∂qi
=
+
∂Qj ∂qi ∂Qj
∂L
∂ ˙qi
∂ ˙qi ∂Qj
i=1
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