Klassische Mechanik

z
θ
S
x1
x3
x2
y
O −φ
Also gibt θ die Neigung des Kreisels an, man nennt θ auch den “Nutationswinkel”. Der Winkel φ wird
“Präzessionswinkel” genannt, und er gibt die Orientierung der auf den Boden projizierten Kreiselachse
an. Der Winkel ψ ist der “Eigenrotationswinkel”.
Die kinetische Energie ausgedrückt durch die 3 Winkel ist
Die potenzielle Energie ist
T = 1
2 (I1 + Ml 2 )
I ′
˙θ 2
+ ˙2 2
φ sin θ
1
V = Mgl cos (θ) .
x
+ 1
2 I3
2 ˙ψ + φ˙ cos θ
= 0 und ∂L
∂φ
(9.33)
Die Lagrange-Funktion L = T − V erfüllt die Gleichungen ∂L
∂ψ
zyklische Variablen, und
Pψ ≡
= 0. Also sind ψ und φ
∂L
∂ ˙ ψ
(9.34)
und
Pφ ≡ ∂L
∂ ˙ φ
(9.35)
sind Erhaltungsgrößen. Außerdem ist auch die Gesamtenergie E = T + V eine Erhaltungsgröße. Wir
haben folglich genauso viele Erhaltungsgrößen wie Freiheitsgrade und können die Lösung der Bewegungsgleichungen
finden.
Wir drücken zunächst ˙ φ und ˙ ψ durch die Erhaltungsgrößen aus:
˙ψ + φ˙ cos θ
(9.36)
Pψ = I3
Pφ = I ′ 1 sin 2 θ + I3 cos 2 θ ˙ φ + I3 ˙ ψ cos θ (9.37)
⇒ ˙ φ = Pφ − Pψ cos θ
I ′ 1 sin2 θ
(9.38)
˙ψ = Pψ
− ˙ φ cos θ . (9.39)
I3
Dies wird in den Ausdruck für die Energie eingesetzt:
E = T + V = 1
I
2
′
2
˙θ 2
1 + φ˙ 2 2
sin θ + I3
˙ψ + φ˙ cos θ + Mgl cos θ
= 1
2 I′ 1 ˙ θ 2 + P 2 ψ
+ Mgl +
2I3
(Pφ − Pψ cos θ) 2
2I ′ 1 sin2 − Mgl (1 − cos θ)
θ
≡Ueff (θ)
Weil E eine Erhaltungsgröße ist, ist auch
. (9.40)
E ′ ≡ E − P 2 ψ
− Mgl =
2I3
1
2 I′ 1 ˙ θ 2 + Ueff (θ) (9.41)
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