Klassische Mechanik

über den Stoß und die Vereinfachung τ/I = 1 gibt
pn+1 −pn = Ksinθn+1
θn+1 = (θn +pn) mod 2π. (14.4)
Diese diskrete Abbildung nennt man oft die Standardabbildung. Die Fläche im Phasenraum bleibt unter
dieser Abbildung erhalten, denn es ist
∂θn+1/∂θn ∂θn+1/∂pn 1 1
det
= det
= 1.
∂pn+1/∂θn ∂pn+1/∂pn Kcosθn+1 1+Kcosθn+1
Die nächsten drei Abbildungen zeigen die Trajektoriender Standardabbildung für verschiedene Werte des
ParametersK.DerAnfangswertderImpulsewurdeimmerimIntervall[0,2π[gewählt.DadieImpulsesich
auch aus diesem Intervall herausbewegen (um so weiter, je größer K ist), haben wir in den Abbildungen
immer p mod 2π aufgetragen. Für K = 0 ist das System integrabel, und man sieht nur reguläre Tori, die
sich als waagrechte Bänder durch das Bild ziehen.
Mit zunehmendem K zerfallen immer mehr Tori und gibt es immer größere chaotische Regionen. Bei
K ≃ 0.97 zerfällt der letzte ursprüngliche Torus. Für genügend große K füllt vermutlich eine einzige
Trajektorie den ganzen Phasenraum gleichmäßig aus.
14.3 Konsequenzen aus der Existenz von Chaos
Wir haben also gesehen, dass ein nichtverschwindender Anteil des Phasenraums mechanischer Systeme,
dienichtdie strengenBedingungenfürIntegrabilitäterfüllen, auschaotischenTrajektorienbesteht. Chaos
zeichnet sich dadurch aus, dass benachbarte Trajektorien exponentiell schnell in der Zeit auseinanderlaufen,
was dazu führt, dass kleinste Veränderungen der Anfangsbedingungen schon nach recht kurzer
Zeit zu völlig verschiedenem Bahnverlauf führen. Da Anfangsbedingungen prinzipiell nur mit endlicher
Genauigkeit festgelegt oder gemessen werden können, sind chaotische Systeme nur über einen begrenzten
Zeithorizont vorhersagbar. Diese Erkenntnis kam seit den 1960er Jahren, als man anfing, Bewegungsgleichungen
mit den ersten Computern zu integrieren. Doch es dauerte noch 20 Jahre, bis klar wurde, ein
wie generelles und weit verbreitetes Phänomen Chaos ist. Die Erforschung chaotischer Dynamik ist auch
heute ein sehr aktives Forschungsgebiet, auf dem wegen der schwierigen mathematischen Beschreibung
und der Vielfalt der Phänomene immer noch viele neue Erkenntnisse gewonnen werden können.
Als Fazit sei ein Abschnitt aus dem Buch “The Transition to Chaos” von Linda Reichl (S. 3) zitiert,
der 300 Jahre nach der Veröffentlichung von Newtons principia eine Bilanz im Lichte der Erkenntnisse
der Chaostheorie zieht:
“Thebelief that Newtonian mechanicsis a basisfor determinism wasformallylaid to restby Sir James
Lighthill in a lecture to the Royal Society on the three hundredth anniversary of Newton’s Principa.
In his lecture Lighthill says ...I speak ...once again on behalf of the global fraternity of practitioners
of mechanics. We are all deeply conscious today that the enthusiasm of our forebears for the marvelous
achievements of Newtonian mechanics led them to make generalizations in this area of predictability which,
indeed, we may have generally tended to believe before 1960, but which we now recognize were false. We
collectively wish to apologize for having misled the general educated public by spreading ideas about the
determinism of systems satisfying Newton’s laws of motion that, after 1960, were proved incorrect...”
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