Klassische Mechanik

Kapitel 2
Zwangsbedingungen und das
d’Alembert-Prinzip
2.1 Zwangsbedingungen
Oft treten in der Mechanik Zwangsbedingungen auf, die den Newtonschen Bewegungsgleichungen
mi ¨ ri = Fi, i = 1, . . . , N
geometrische Einschränkungen auferlegen. Dadurch wird die Zahl der Freiheitsgrade verringert, und sie
beträgt nicht mehr 3N.
Es erweist sich als zweckmäßig, die Koordinaten so zu wählen, dass sie möglichst gut zu den Zwangsbedingungen
passen. Kartesische Koordinaten sind längst nicht immer die beste Wahl. Wir führen sogenannte
verallgemeinerte (“generalisierte”) Koordinaten ein. Dies dürfen beliebige Größen sein, die die
Konfigurationen eines mechanischen Systems kennzeichnen können. Sie müssen nicht die Dimension einer
Länge haben. Wir kennen von den Zylinder- und Polarkoordinaten schon die Winkel als verallgemeinerte
Koordinaten. Allgemein notieren wir verallgemeinerte Koordinaten mit qj, j = 1, . . . , 3N. Die
kartesischen Koordinaten lassen sich als Funktionen der qj und der Zeit schreiben:
xi = xi(q1, . . . , q3N ; t), yi = yi(q1, . . . , q3N; t), zi = zi(q1, . . . , q3N; t) .
2.1.1 Klassifizierung von Zwangsbedingungen
Holonome Zwangsbedingungen
Holonome Zwangsbedingungen haben für ein System, das durch 3N verallgemeinerte Koordinaten festgelegt
ist, die Form
fi(q1, . . . , q3N; t) = 0 , i = 1, . . . , k mit k ≤ 3N . (2.1)
In differenzieller Form wird dies zu
mit
dfi =
aijdqj + bidt = 0 , j = 1, . . . , 3N (2.2)
j
aij ≡ ∂fi
, bi ≡
∂qj
∂fi
∂t .
Wenn Zwangsbedingungen nur in differenzieller Form gegeben sind, kann man erkennen, dass sie holonom
sind, indem man die Integrabilitätsbedingungen überprüft. Es muss nämlich gelten
∂ 2 fi
∂ql∂qj
≡ ∂aij
∂ql
= ∂ail
∂qj
≡ ∂2 fi
∂qj∂ql
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und ∂aij
∂t
∂bi
= . (2.3)
∂qj