Klassische Mechanik

3) E = E3 ≡ Veff
p
= 2
(7.20) ϕ
r0 mα
= − mα2
p2 +
ϕ
−α/r
mα2
2p2 ϕ
p2 ϕ /(2mr2 = −
)
mα2
2p2 ϕ
(7.25)
⇒ ε = 0 , d.h. die Bahn ist ein Kreis; aus (7.24) für ε = 0 folgt:
r0 = C −1 = p2 ϕ
mα
⇒ E = − α
2r0
D.h., für r0 = a sind die Energien für Kreis- und Ellipsenbahnen gleich.
Aufgaben
1. Betrachten Sie das Teilchen im Kreiskegel. Gehen Sie aus von der Rechnung in Abschnitt 4.4.
(7.29)
(a) Schreiben Sie durch Einführen einer modifizierten Masse und eines modifizierten Winkels die
Lagrange-Funktion so um, dass sie genau wie diejenige eines Zentralpotenzials aussieht.
(b) Was ist das effektive Potenzial?
(c) Skizzieren Sie Veff(r) und begründen Sie hieraus, dass die Bewegung gebunden ist. Zeichnen
Sie in Ihrer Skizze den minimalen und den maximalen Radius ein.
(d) Für welches r resultiert eine Kreisbahn?
(e) Erwarten Sie, dass die Bahnen geschlossen sind?
2. Lenz-Vektor: Für die Bahn r(t) im Kepler-Potenzial definieren wir den Lenzschen Vektor Λ als
Zeigen Sie
(a) Λ ist eine Erhaltungsgröße, d.h. d Λ/dt = 0.
(b) | Λ| ist gleich der Exzentrizität ɛ.
Λ = m
α ˙ r × (r × ˙ r) − r
r = p × L r
−
αm r .
(c) Λ zeigt zum Perihel, also Λ rP . (rP ist der Vektor vom Kraftzentrum zum Perihel.)
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