Klassische Mechanik

Kapitel 13
Integrable und nicht integrable
Systeme
In diesem Kapitel behandeln wir den Satz von Liouville, der eine hinreichende Bedingung für die Integrabilität
eines Systems liefert. Außerdem zeigen wir, dass ein integrablesSystem sofortnichtintegrabel wird,
wenn man zu seiner Hamiltonfunktion einen kleinen Term addiert, der nicht dieselben Erhaltungsgrößen
hat.
13.1 Der Satz von Liouville über integrable Systeme
Der Satz von Liouville besagt, dass ein räumlich beschränktes Hamiltonsches System mit n Freiheitsgraden
integrabel ist, wenn es n Funktionen Ii(q,p) gibt, die von den Koordinaten und Impulsen, aber nicht
von der Zeit abhängen und folgende drei Eigenschaften haben:
1. Die Funktionen Ii(q,p) sind Erhaltungsgrößen.
2. Alle ihre Poissonklammern verschwinden, d.h.
für alle Paare i,j. Man sagt auch, die Ii sind in Involution.
3. Ihre totalen Differenziale
dIi =
[Ii,Ij] = 0 (13.1)
n
∂Ii
dqk +
∂qk
∂Ii
dpk
∂pk
k=1
sind linear unabhängig, d.h. der Rang der n×2n Koeffizientenmatrix (∂Ii/∂qk,∂Ii/∂pk) ist n.
Die erste und dritte Eigenschaft sind notwendig, damit der Phasenraum in n-dimensionale Mannigfaltigkeiten
zerlegtwerden kann, die jeweils zu konstanten Werten der Erhaltungsgrößengehören. Die zweite
Eigenschaft ist nötig, damit innerhalb dieser Mannigfaltigkeiten die Erzeugende W(p,I) der kanonischen
Transformation auf eine freie Bewegung konstruiert werden kann. Dann folgt, dass diese Mannigfaltigkeiten
Tori sind. Wir zeigen dies, indem wir die Funktion W konstruieren.Sie ist nämlich wegen W = S+Et
und
S = (
pi˙qi −E)dt = (
pidqi −Edt) = pidqi −Et
gegeben durch
i
W(q,I) =
i
q
q0
i
114
i
pi(q ′ ,I)dq ′ i . (13.2)