Klassische Mechanik

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wobei Phasenverschiebungen 0 bzw. π durch positive bzw. negative Amplituden Ai beschrieben werden. Einsetzen ergibt mit (ω 2 3 − Ω 2 )A1 − D12 m A2 = f0 − D12 m A1 + (ω 2 3 − Ω 2 )A2 = 0 ω 2 3 ≡ Die Lösung des Gleichungssystems lautet A1 = f0 A2 = f0 D + D12 m , f0 ≡ DA m . ω 2 3 − Ω 2 (ω 2 3 − Ω2 ) 2 − D12 m D12 m (ω 2 3 − Ω2 ) 2 − D12 m wobei ω1 und ω2 wie im vorigen Beispiel definiert sind als 2 2 ω 2 1 ≡ D m , ω2 D + 2D12 2 ≡ . m ω = f0 2 3 − Ω2 (ω2 1 − Ω2 )(ω2 2 − Ω2 ) ω = f0 2 3 − ω2 1 (ω2 1 − Ω2 )(ω2 2 − Ω2 ) , Erwartungsgemäß werden die Amplituden bei diesen Frequenzen unendlich. (Wenn man den Dämpfungsterm dazunimmt, werden die Amplituden nicht unendlich, sondern haben ein Maximum in der Nähe der Eigenfrequenzen.) Besonders bemerkenswert ist das Ergebnis A1(Ω = ω3) = 0 , A2(Ω = ω3) = − AD . D.h. die rechte Masse schwingt im stationären Fall mit solcher Amplitude, dass sich die beiden an der linken Masse angreifenden Federkräfte gegenseitig aufheben. Man benutzt diesen Effekt zur Konstruktion von Schwingungstilgern: Maschinenschwingungen, die durch harmonische Anregungen konstanter Frequenz erzeugt werden, lassen sich durch einen angekoppelten, geeignet abgestimmten zweiten Schwinger eliminieren. Aufgaben 1. Gekoppelte Pendel: Zwei Pendel der Längen l1 und l2 mit den Massen m1 und m2 werden durch eine horizontale Feder verbunden. Die Feder wird an den beiden (wie immer masselosen) Pendelstangen auf der Höhe l < l1, l2 unterhalb der Aufhängepunkte angebracht. Der Abstand der beiden Pendel sei wesentlich größer als l, so dass die Feder stets nahezu horizontal bleibt. D12 (a) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für die beiden Pendel auf. (b) Integrieren Sie die Bewegungsgleichungen zunächst für den Spezialfall m1 = m2 und l1 = l2 und in der Näherung kleiner Ausschläge. Wählen Sie die Anfangsbedingungen ϕ1(0) = ϕ0 und ˙ϕ1 = ˙ϕ2 = ϕ2 = 0. Bemerkung: ϕ0 muss eine kleine Größe sein. (c) Lösen Sie jetzt diese Aufgabe auch für m1 = m2, aber immer noch mit l1 = l2. (d) Betrachten Sie zum Schluss den Fall m1 = m2 und l1 = l2, immer noch für dieselben Anfangsbedingungen wie in (b) und für kleine Ausschläge. 2. Gehen Sie aus von der Wellengleichung (6.19). 92
(a) Zeigen Sie, dass diese Gleichung zu der durch (10.24) beschriebenen Kategorie von Systemen gehört, indem Sie die x-Werte diskretisieren. Wie sieht die Matrix Vij aus? (b) Nun betrachten Sie wieder die kontinuerliche Variante. Betrachten Sie eine an beiden Enden fixierte Saite, also y(x = 0, t) = y(x = l, t) = 0. Was ist der zu (10.25) analoge Lösungsansatz für die kontinuierliche Wellengleichung (6.19)? Welche allgemeine Form haben also die Lösungen? (c) Finden Sie noch eine weitere Klasse von Lösungen, wenn Sie sich nicht um die Randbedingungen kümmern? 93
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Kapitel 1 Grundlagen: Newtonsche Me
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Der Beschleunigungsvektor ist a =
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Wer lieber zu Fuß rechnet mit expl
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Das Potenzial der Gravitationskraft
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wobei ri ′ die Darstellung des Or
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(b) Berechnen Sie für allgemeine a
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Wenn es k holonome Zwangsbedingunge
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Sie hängen von den verallgemeinert
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Die Zwangsbedingungen sind y1 = 0 u
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Beachte: Die Summanden in (2.22) d
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d.h. im Gleichgewicht verschwindet
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Kapitel 3 Lagrange-Gleichungen zwei
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und erhalten damit die Lagrange-Gle
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3.4 Lagrange-Formalismus mit Reibun
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Wir wählen die x-Achse in v-Richtu
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und und folglich ∂L ′ ∂ ˙ Qj
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und damit und ∂ df ∂f = und ∂
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Auch diese Gleichung können wir au
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Dann haben die neuen Koordinaten qi
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