Klassische Mechanik

1. Teilchen im würfelförmigen Kasten: hier gelten die Einschränkungen 0 ≤ x ≤ L , 0 ≤ y ≤ L , 0 ≤
z ≤ L .
2. Rollende Kreisschreibe: Eine Kreisschreibe ist ein starrer Körper und hat ohne Berücksichtigung
der Zwangsbedingungen 6 Freiheitsgrade. Wenn man die Bedingung auferlegt, dass ein Punkt des
Umfangs die Auflageebene berühren soll, bleiben 5 Freiheitsgrade. Wir wählen als verallgemeinerte
Koordinaten die Koordinaten des Auflagepunktes (xA, yA), die “Rollrichtung” ϕ (Winkel zwischen
der x-Achse und der Schnittlinie von Scheibenebene und Boden), den Neigungswinkel ϑ der Scheibe
und den Rollwinkel ψ. Die Rollbedingung (vgl. (2.4)) sorgt dafür, dass die Scheibe sich zu jedem
Zeitpunkt in Richtung der momentanen Scheibenebene bewegt:
dxA = −r dψ cos ϕ und dyA = −r dψ sin ϕ . (2.6)
Da die Scheibenebene ihre Orientierung ändern kann, ist dies aber keine holonome Zwangsbedingung.
Die Scheibe kann sich zwar immer nur in der Richtung bewegen, in der ihre Ebene zeigt, aber
sie kann im Laufe der Zeit trotzdem jede durch die 5 Freiheitsgrade beschriebene Konfiguration
einnehmen. Das ist wie bei einem Fahrrad: Man kann zwar immer nur in Richtung des Vorderrades
fahren, aber indem man das Vorderrad geeignet dreht, kann man letztlich überall hinkommen, mit
jeder gewünschten Fahrradorientierung und -neigung (naja....) und jedem gewünschten Drehwinkel
der Räder. (Die Analogie zwischen Fahrrad und Kreisscheibe ist offensichtlicher, wenn man ein
Einrad statt eines normalen Fahrrads betrachtet....).
Division durch dt führt die Zwangsbedingungen (2.6) über in
˙xA + r ˙ ψ cos ϕ = 0 , ˙yA + r ˙ ψ sin ϕ = 0 . (2.7)
Da es für ϕ keine Zwangsbedingung gibt (im Gegensatz zu obigem Beispiel mit dem rollenden
Zylinder), lässt sich die Bedingung (2.6) bzw. (2.7) nicht integrieren.
Nichtholonome Zwangsbedingungen, die eine differenzielle Form haben, haben allgemein die Gestalt
aijdqj + bidt = 0 , (2.8)
j
bzw.
aij ˙qj + bi = 0 . (2.9)
Die aij und bi erfüllen nicht die Bedingung (2.3). Sie haben die allgemeine Form
j
aij = aij(q1, . . . , q3N ; t) bi = bi(q1, . . . , q3N; t) . (2.10)
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