Klassische Mechanik

Also ist
¨x = ¨r cos ϕ − 2 ˙r ˙ϕ sin ϕ − r ¨ϕ sin ϕ − r ˙ϕ 2 cos ϕ
¨y = ¨r sin ϕ + 2 ˙r ˙ϕ cos ϕ + r ¨ϕ cos ϕ − r ˙ϕ 2 sin ϕ
¨z = ¨r cot α .
Eingesetzt in die Bewegungsgleichungen gibt das
Zx = m(¨r cos ϕ − 2 ˙r ˙ϕ sin ϕ − r ¨ϕ sin ϕ − r ˙ϕ 2 cos ϕ) (2.12)
Zy = m(¨r sin ϕ + 2 ˙r ˙ϕ cos ϕ + r ¨ϕ cos ϕ − r ˙ϕ 2 sin ϕ) (2.13)
Zz = m(¨r cot α + g) . (2.14)
Diese drei Gleichungen enthalten fünf Unbekannte: r(t), ϕ(t), Zx, Zy, Zz. Wir müssen also zum Lösen der
Gleichungen noch weitere Informationen verwenden. Diese stecken in der Bedingung, dass die Zwangskräfte
senkrecht auf den Wänden stehen (weil sie keine Arbeit verrichten). Also gilt
Zy cos ϕ = Zx sin ϕ und Zz = Z2 x + Z2 y tan α
bzw. Zz cos ϕ = −Zx tan α. Wir subtrahieren die mit sin ϕ multiplizierte Gleichung (2.12) von der mit
cos ϕ multiplizierten Gleichung (2.13) und erhalten
2 ˙r ˙ϕ + r ¨ϕ = 0 . (2.15)
Addition der mit tan α multiplizierten Gleichung (2.12) und der mit cos ϕ multiplizierten Gleichung (2.14)
ergibt
(tan α + cot α)¨r − r ˙ϕ 2 tan α + g = 0 . (2.16)
Wir haben also zwei gekoppelte Differenzialgleichungen für die beiden unabhängigen Variablen r und ϕ.
(Bemerkung: Dieses Problem ist nur dann wohl definiert, wenn man davon ausgeht, dass die Geschwindigkeit
des Teilchens eine von Null verschiedene Komponente in ϕ-Richtung hat. Sonst würde das
Teilchen in der Kegelspitze landen, wo die Zwangsbedingung nicht mehr differenzierbar ist. Wir gehen
also hier und bei allen später im Skript vorkommenden Rechnungen zu diesem Problem davon aus, dass
es eine Geschwindigkeitskomponente in ϕ-Richtung gibt.)
Beispiel 2: Rollpendel ohne Reibung:
Der Aufhängepunkt eines Pendels sei in der x-Achse angebracht und mit einer Masse m1 versehen,
die längs der x-Achse reibungsfrei gleiten kann. Die Pendelmasse m2 hängt an einem masselosen Faden
der Länge l. Die 4 Koordinaten x1, y1, x2, y2, die die Position der Massen m1 und m2 beschreiben, unterliegen
zwei Zwangsbedingungen, so dass nur zwei unabhängige Koordinaten übrigbleiben. Wir wählen als
unabhängige generalisierte Koordinaten den Auslenkwinkel ϕ und die Position x1 der Masse m1. Nach
(2.11) lauten die Bewegungsgleichungen
m1¨x1 = Z1x , m1¨y1 = −m1g + Z1y
m2¨x2 = Z2x , m2¨y2 = −m2g + Z2y .
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