Klassische Mechanik

L
Die Winkelgeschwindigkeit um die Symmetrieachse können wir auch durch den Drehimpuls und die
Trägheitsmomente ausdrücken: Es ist
ω3 = L3
I3
ω
x3
= | L| cos(θ)
I3
9.4 Starre Körper mit nur einem Freiheitsgrad
. (9.20)
Nun betrachten wir starre Körper mit äußeren Kräften und beschränken uns zunächst auf Systeme mit
nur einem Freiheitsgrad. Es ist zum Beispiel der Körper fest auf einer Rotationsachse montiert, oder er
rollt auf einer Unterlage in nur einer Richtung. In beiden Fällen behält die Rotationsachse ihre Richtung
bei, und wir können den Winkel ϕ als Freiheitsgrad wählen.
Wir wählen die z-Richtung parallel zur Rotationsachse. Die kinetische Energie im Laborsystem hat
dann die Beiträge
Trot = 1
2 Jzz ˙ϕ 2
(9.21)
Ttrans = 1
2 M V 2 = 1
2 M ˙ r 2 s , (9.22)
wobei ˙ rs die Geschwindigkeit des Schwerpunkts längs seiner Bahnkurve ist.
Als Beispiel betrachten wir eine Walze auf einer schiefen Ebene:
y
Die Walze habe den Radius R, die Masse M und die Länge l. Der Schwerpunkt der Walze sei in der Mitte
der Walze. Der Zusammenhang zwischen der Position y auf der Ebene und dem Rollwinkel ϕ ist
und die Lagrange-Funktion ist
Die Lagrange-Gleichung
führt auf
ϕ
α
˙y = R ˙ϕ , (9.23)
L = 1
2 Jzz
2 ˙y
+
R
1
2 M ˙y2 + Mg sin (α)y . (9.24)
d ∂L ∂L
=
dt ∂ ˙y ∂y
(9.25)
Mg sin (α)
¨y = Jzz
R2 . (9.26)
+ M
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