Klassische Mechanik

12.2 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung
Die Hamilton-Jacobi-Gleichung erhält man, wenn man nach einer kanonischen Transformation sucht, die
sowohl die neuen Koordinaten Qi, als auch die neuen Impulse Pi zu Konstanten der Bewegung macht,
alsoPi = αi und Qi = βi mit Konstantenαi und βi, deren Werte vonden Anfangsbedingungen abhängen,
aber sichmit der Zeit nicht ändern.Wenn man eine solcheTransformationgefunden hat, hat man nämlich
auch die Lösung der Bewegungsgleichungen für q und p gefunden, da diese ja als Funktionen von Q,P,t,
also von β,α,t geschrieben werden können. Man hat dann also die Trajektorien des Systems als Funktion
der Zeit und der Anfangsbedingungen berechnet.
FreilichistdasFindeneinersolchenTransformationgenausoschwerwiedasdirekteLösenderLagrange-
Gleichungen, so dass auch die Hamilton-Jacobi-Theorie meist keine echte Hilfe beim Lösen mechanischer
Probleme ist. Ihr Nutzen liegt vielmehr darin, dass sie neue Einsichten in die Struktur der klassischen
Mechanik gewährt, so dass wir bald hinreichende Bedingungen für die Lösbarkeit mechanischer Probleme
aufstellen können.
ja
Eine Transformation auf konstante Q und P ist z.B. erreicht, wenn K(Q,P,t) = 0 ist. Denn dann ist
˙Qi = ∂K
= 0
∂Pi
und
Pi ˙ = − ∂K
= 0,
∂Qi
d.h. weder die Q noch die P ändern sich mit der Zeit.
Aus K = 0 folgt mit der dritten Gleichung von (12.2)
K = H + ∂G
∂t
also (mit der ersten Gleichung von (12.2))
H q, ∂G(q,P,t)
,t
∂q
= 0, (12.3)
= − ∂G(q,P,t)
∂t
. (12.4)
Dies ist die Hamilton-Jacobi-Gleichung. Die Funktion G nennt man Prinzipalfunktion oder auch Hamiltonsche
Wirkungsfunktion. Sie ist identisch mit der Wirkung S = Ldt:
Aus der Bedingung (12.1) erhalten wir nämlich mit ˙ Pi = 0 und K = 0
und daraus durch Integration
i
pi˙qi −H = dG
dt
G = dt pi˙qi −H = dtL.
i
(12.5)
Wir schreiben deshalb ab jetzt S statt G, und statt P schreiben wir α, um deutlich zu machen, dass es
sich um Konstanten handelt. Die Hamilton-Jacobi-Gleichung hat dann die Form
H q, ∂S(q,α,t)
,t
∂q
= − ∂S(q,α,t)
∂t
. (12.6)
Die Hamilton-Jacobi-Gleichung ist eine partielle Differenzialgleichung zur Bestimmung der Wirkungsfunktion
S(q,α). Wir haben also das ursprüngliche Problem, die Lagrange-Gleichungen oder die Hamiltonschen
Bewegungsgleichungenzu lösen, ersetzt durch das Problem, die Erzeugende S einer kanonischen
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