Klassische Mechanik

10.2 Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden
Wir betrachten nun ein System aus N miteinander wechselwirkenden Teilchen, die zusammen eine stabile
Gleichgewichtslage haben. Wenn wir nur kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage betrachten,
wird das zu einem System aus N gekoppelten Oszillatoren, die um die Gleichgewichtslage schwingen und
nahezu linearen Rückstellkräften unterliegen. Das System sei konservativ. Eventuell gibt es k holonome,
skleronome Zwangsbedingungen. Es folgt, dass die kinetische Energie eine quadratische Funktion der
n = 3N − k generalisierten Geschwindigkeiten ist (vgl. (4.11)):
T = 1
2
n
i,j=1
Tij(q1, ..., qn) qi ˙ qj, ˙
(10.18)
mit symmetrischen Koeffizienten Tij = Tji. Die Koordinaten der Gleichgewichtslage q0i legen wir in
den Koordinatenursprung, so dass die qi (mit i = 1, ..., n), die Auslenkungen aus dem Gleichgewicht
bezeichnen.
Entwicklung in eine Taylorreihe um die Gleichgewichtslage ergibt
Tij(q1, ..., qn) ≡ Tij(q) = Tij(0) +
Für genügend kleine Auslenkungen beträgt die kinetische Energie mit (10.18)
T 1
2
n
∂Tij(q)
ql + ... (10.19)
∂ql
l=1
0
n
Tij ˙qi ˙qj , Tij ≡ Tij(0). (10.20)
i,j=1
Da die ˙qi ebenso wie die qi kleine Größen sind, ist dieser führende Term der Taylorentwicklung für unsere
Betrachtungen ausreichend.
Für ein konservatives System existiert eine potenzielle Energie V . Wir machen auch für V eine Taylorentwicklung:
V (q) = V (0)
irrelevant
+
n
∂V (q)
qi
∂qi
+
i=1
0
=0
1
2
n ∂2
V (q)
qiqj + ... (10.21)
∂qi∂qj
Der 2. Term ist 0 für die Gleichgewichtslage, da die potenzielle Energie dort minimal ist.
Folglich ist das Potenzial in der Umgebung der Gleichgewichtslage ungefähr gleich
V (q) 1
2
n
i,j=1
∂2
V
∂qi∂qj
0
i,j=1
qiqj ≡ 1
2
Die Matrizen V und T sind symmetrisch und positiv definit.
Die Lagrange-Funktion
L(q, ˙q) = 1
n
2
ergibt die Bewegungsgleichungen
Der Ansatz
i,j=1
0
n
Vijqiqj . (10.22)
i,j=1
(Tij ˙qi ˙qj − Vijqiqj) (10.23)
n
(Tij ¨qj + Vijqj) = 0 , i = 1, ..., n. (10.24)
j=1
qj(t) = Caje iωt , j = 1, ..., n (10.25)
87