Klassische Mechanik

dVeff
dr
r
= r0 = α
r2 −
0
p2ϕ mr3 0
= 0 ⇒ r0 = p2ϕ . (7.20)
mα
Wir berechnen nun noch die geometrische Bahn ϕ(r). (7.19) in (7.14) eingesetzt ergibt:
r
ϕ(r) = ±
Substitution u ′ = 1
r ′ ⇒ du ′ = − 1
r ′2 dr ′ ergibt
Unter Benutzung von
r0
dr ′
r ′2
− 1
r ′2 + 2mα
p2 ϕr′ + 2mE
p2 ϕ
u
du
ϕ(u) = ∓
u0
′
−u ′2 2mα + p2 u
ϕ
′ + 2mE
p2 ϕ
dx
√ ax 2 + bx + c =
für a < 0 , b 2 − 4ac > 0 ergibt sich
+ ϕ0 . (7.21)
+ ϕ0 .
1
2ax + b
√ arccos √
−a b2 − 4ac
⎛
−2u + 2mα
p2 ϕ
2 ⎜
ϕ(u) = ∓ arccos ⎜
⎝
2mα
p2 +
ϕ
8mE
p2 ⎟
⎠ + ˆϕ0 (7.22)
ϕ
⎛
p2
ϕ
1 −
= ∓ arccos ⎝ mαu ⎞
⎠ + ˆϕ0 . (7.23)
1 + 2Ep2 ϕ
mα 2
Auflösen von (7.22) nach u ergibt mit cos (±(ϕ − ˆϕ0)) = cos(ϕ − ˆϕ0) dann
1 mα
≡ u =
r p2
1 − 1 +
ϕ
2Ep2
ϕ
cos(ϕ − ˆϕ0) .
mα2 Wir wählen ϕ0 ≡ ˆϕ0 + π. Mit cos(ϕ − ϕ0 + π) = − cos(ϕ − ϕ0) lautet dann die Bahngleichung
Wir definieren die Exzentrizität ε der Bahn
1
r = C (1 + ε cos(ϕ − ϕ0)) . (7.24)
ε ≡
1 + 2Ep2ϕ . (7.25)
mα2 C −1 = p2
ϕ
mα heißt “Parameter” der Bahn, der Winkel ϕ0 das Perihel. (Bei ϕ = ϕ0 ist die Bahn dem
Koordinatenursprung am nächsten.)
Die Bahngleichung (7.24) ist die Gleichung eines Kegelschnittes, dessen einer Brennpunkt im Koordinatenursprung
(Kraftzentrum) liegt. Für die betrachteten Fälle in der Diskussion des effektiven Potenzials
ergeben sich die folgenden Bahneigenschaften:
1) E = E1 ≥ 0:
a) E = E1 > 0 (7.25)
⇒ ε > 1, d.h. die Bahn ist eine Hyperbel
b) E = E1 = 0 ⇒ ε = 1, d.h. die Bahn ist eine Parabel
64
⎞