Klassische Mechanik

• τ = 0: Der Fixpunkt ist ein Zentrum, auch elliptischer Fixpunkt genannt. Die Trajektorien laufen
in geschlossenen Bahnen um ihn herum.
• τ 2 −4∆ = 0: In diesem Fall sind entweder alle Richtungen Eigenrichtungen zum selben Eigenwert
und wir haben einen Stern, oder es gibt nur eine Eigenrichtung, und dann ist der Fixpunkt entartet.
In beiden Fällen befindet sich der Fixpunkt an der Grenze zwischen Knoten und Spirale.
• ∆ = 0: In diesem Fall ist ein Eigenwert 0. Aus der entsprechenden Eigenrichtung läuft man weder
aus dem Fixpunkt heraus, noch in ihn hinein. Es gibt also eine ganze Linie von Fixpunkten.
stabiler Knoten
Sattelpunkt
stabile Spirale
instabiler Knoten Stern
entarteter Fixpunkt
Zentrum
Fixpunktlinie
instabile Spirale
Abbildung 11.1: Die erwähnten Arten von Fixpunkten in 2 Dimensionen.
Allerdings können die meisten dieser Fixpunkte bei Hamiltonschen Systemen nicht auftreten. Wegen
derGleichung(11.12)darfeinPhasenraumvolumenelementauchinderUmgebungdiesesFixpunktesseine
Größe nicht ändern, und deshalb muss die Summe der Eigenwerte Null sein. Zentrum und Sattelpunkt,
alsoelliptische und hyperbolischeFixpunkte, sind daherdie einzigmöglichenFixpunkte in Hamiltonschen
Systemen mit zweidimensionalem Phasenraum.
In 2n > 2 Dimensionen hat ein Fixpunkt mehr als zwei Eigenrichtungen, die zum Teil stabil, zum Teil
instabil sind (man braucht beides, damit das Phasenraumvolumen erhalten ist). Dann kann es z.B. ein
komplex konjugiertes Paar von Eigenwerten geben, dessen Eigenvektoren eine Ebene aufspannen, in der
Trajektoren spiralförmig in den Fixpunkt hineinlaufen, während sie längs anderer Eigenrichtungen aus
dem Fixpunkt herauslaufen, oder umgekehrt.
Periodische Bahnen
Eine periodische Trajektorie ist eine Trajektorie, die sich exakt schließt. Wenn sie stabil ist, bleiben benachbarte
Trajektorien in ihrer Nähe und wickeln sich evtl um sie herum. Wenn sie aber instabil ist,
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