Klassische Mechanik

entfernen sich benachbarte Trajektorien in der instabilen Eigenrichtung exponenziell schnell in der Zeit
von ihr (und folglich auch voneinander). Um dies genauer zu verstehen, betrachten wir einen sogenannten
Poincaré-Schnitt durch die Umgebung einer periodischen Traektorie. Wir wählen einen Punkt auf
dieser Trajektorie und schieben gedanklich ein Blatt Papier durch diesen Punkt, so dass die Papierebene
senkrecht auf die Trajektorie steht. (Die Dimension des “Papierblatts” ist allerdings größer als 2, wenn
die periodische Trajektorie samt ihrer Umgebung einen mehr als dreidimensionalen Unterraum des Phasenraums
ausfüllt....) Wir verfolgen nun eine Trajektorie, die in der Nachbarschaft unserer periodischen
Trajektorie startet, in der Zeit. Jedesmal, wenn sie unser Blatt Papier durchstößt, markieren wir den
Durchstoßpunkt. So bekommen wir eine Abfolge von Durchstoßpunkten, die in der Nähe des Durchstoßpunkts
der periodischen Trajektorie liegen. Dann machen wir dasselbe für eine andere Trajektorie und
markieren die Durchstoßpunkte dieser zweiten Trajektorie in einer anderen Farbe, usw. Eine Trajektorie
wird also zu einer Kette von Durchstoßpunkten, und das sich ergebende Gesamtbild ist ganz analog
zum Phasenraumportrait in der Umgebung eines Fixpunkts. So werden stabile periodische Bahnen im
Poincaré-Schnitt zu elliptischen Fixpunkten und instabile periodische Bahnen zu hyperbolischen Fixpunkten
oder (in höheren Dimensionen) zu Fixpunkten mit mehr als einer stabilen und/oder instabilen
Eigenrichtung.
Aufgaben
1. Berechnen Sie für die Perle auf dem parabelförmigen, rotierenden Draht (s. Kap. 2.1.1 und Übungsaufgabe1vonKap.3)dieHamiltonfunktionunddieHamiltonschenGleichungen.WennSieüberschüssige
Energie und Zeit haben, dann berechnen Sie beides auch noch für das Rollpendel. (Die Lagrange-
Funktion wurde in Kap. 3.3 hergeleitet.)
2. Zeigen Sie, dass sich die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mit Hilfe der Poisson-Klammern
schreiben lassen als
˙qi = [qi,H], ˙pi = [pi,H].
3. Berechnen Sie die Poissonklammern [Lx,Ly] und [Lx, L 2 ] ≡ [Lx,L 2 x +L2 y +L2 z ]. (Bem.: Lx ist die
x-Komponente des Drehimpulses, also Lx = ypz −zpy.)
4. In Aufgabe 2d) von Kapitel 1 haben Sie die Bahnen im Phasenraum für ein Pendel gezeichnet.
(a) Zeichnen Sie nun ein analoges Bild für einen hüpfenden Gummiball, der auf dem Boden elastisch
reflektiert wird und zwischen diesen Reflexionen nur der Gravitationskraft ausgesetzt
ist. Betrachten Sie dieses System nur in einer Dimension (d.h. der Ball hüpft senkrecht nach
oben).
(b) Markieren Sie nun im Phasenraum die Fläche, die zwischen zwei Energien E1 und E2 und
zwischen zwei Impulsen p1 und p2 liegt. Rechnen Sie explizit nach, dass sich dieses “Phasenraumvolumen”
mit der Zeit nicht ändert (also dass alle Trajektorien, die in dieser Fläche zur
Zeit t0 starten, zu einer späteren Zeit t1 eine gleich große Fläche bilden).
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